2024年第五届百年老校数学竞赛试题.docxVIP

第五届百年老校数学竞赛北京清华大学附属中学

第一天

2024年8月2日8:00-12:30

一.如图，给定⊙0(半径为r)以及定点L,A,B,满足点B在线段AL上，并且LA·LB=r2-OL2.设⊙0的动弦XY经过点L且不经过点B,记△AXY的垂心为点H.

证明：存在定圆w,满足若A,B,H三点不共线，则△ABH的垂心P在w上.

二.设正整数n≥3.证明：多项式

有n个不同的实根.

三.设p是素数.已知集合AS{1,2,…,p},并且其元素个数IA|≥100√p·log?2P

证明：存在A的子集B,满足B的所有元素之和模p余1.

第五届百年老校数学竞赛

北京清华大学附属中学第二天

2024年8月3日8:00-12:30

四.求满足下列条件的所有整系数多项式f(x):

(1)f(x)的首项系数为1,且f(100)=0;

(2)存在无穷多个正整数n,使得f(n)是素数的正整数次幂.

五.设L是正整数.桌子上放置了重量两两不同的2024个小球.最初甲知道每个小球的重量，乙不知道任何一个小球的重量.乙为了知道每个小球的重量，对甲进行若干次提问.每次乙可以指定桌子上任意不超过L个小球进行提问，之后甲仅回答乙指定的这些小球的重量所构成的集合.

乙希望通过m次提问，确保可以推断出每个小球的重量.

(1)若L=5,求m的最小可能值.

(2)若L=100,求m的最小可能值.

六.在平面上给定⊙0以及不共线的三点A,B,C,满足：点O在∠ABC内部，⊙0与直线AB相切于点A,且⊙0与直线BC相离.点P是直线BC上异于B的动点，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为Q,R.设∠ABC的平分线所在的直线l与直线AQ,AR分别相交于点S,T.过P,S,T三点作圆w.

证明：圆w经过两个定点.