2024年全国中学生数学联赛B卷试题含答案（二试）.docxVIP

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)

暨2024年全国高中数学联合竞赛

加试试题(B卷)

一.(本题满分40分)给定正整数a.求函数f(x)=min{|x|,|axl}的最大值.(|x|表示实数x到与它最近整数的距离；min{s,t}表示实数s,t中较小的数.)

二.(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且

AC2=AB·AD,点E,F分别在边BC,CD上，满足.过点C,B,F的圆

w?与过点C,D,E的圆w?交于C及另一点T.证明：点T在直线AC上.

(答题时请将图画在答卷纸上)

三.(本题满分50分)给定素数p,p=2(mod3).求同时满足下面两个条

件的三元有序数组(a,b,c)的数目：

(1)a,b,c∈{0,1,2,…,p-1};

(2)三个数a(b+1),b(c+1),c(a+1)除以p所得的余数相同.

四.(本题满分50分)给定正整数n.在一个2×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S中任意两个不同的小方格A,B,存在整

数I≥2及S中1个方格A=C,C?,…,C,=B,满足C?与C有公共边

(i=1,2,…,1-1).

求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)

暨2024年全国高中数学联合竞赛

加试试题(B卷)

一.(本题满分40分)给定正整数a.求函数f(x)=min{llx,|laxl}的最大值。(|x||表示实数x到与它

最近整数的距离：min{s,}表示实数s,t中较小的数.)

【答案】a为奇数时，

a为偶数时，

【解析】(1)a为奇数时，,且对任意实数x,都有|

所,又,所以a为奇数时，

(2)a为偶数时，为正整数.

注意到

下

假设存在x?,使得,不妨设x?∈[0,1],则I|从而

,则

与|矛盾，因此假设不成立，所以a为偶数时，

综上，a为奇数时，;a为偶数时，

二.(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD,点E,F分别

在边BC,CD上，满.过点C,B,F的圆a与过点C,D,E的圆a2交于C及另一点

T.证明：点T在直线AC上.

证明：设BA与圆a交于点B、Q,DA与圆a?交于点D、P,PE与AB交于点M,QF与AD交于点

N.由于AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD,则△ABC∽△ACD,于是∠PEB=∠CDP=∠ACB,则

PE//AC,同理可得QF//AC,则QF//PE//AC,所以∠P=∠CAD=∠BAC=∠AMP,则AP=AM,

同理可得AQ=AN,故,则B

→AP·AD=AQ·AB,由圆幂定理知，点A对圆a和圆a?的幂相等，即A在圆a与圆a的根轴上，又

CT为圆a)与圆a的根轴，故点T在直线AC上.

图1

三.(本题满分50分)给定素数p,p=2(mod3).求同时满足下面两个条件的三元有序数组(a,b,c)

的数目：

(1)a,b,ce{0,1,2,…,p-l):

(2)三个数a(b+1),b(c+1),c(a+1)除以p所得的余数相同。【答案】2p-2

【解析】当a,b,c其中之一为0时，不妨设a=0.此时0=b(c+1)=c(modp)=b=c=0(modp),

故a=b=c=0,为满足条件的一组解；考虑a,b,c都不为0的情况.

a(b+1)=b(c+1)=c(a+1)(modp)=pla(b+1)-b(c+1)=b(a-c)+(a-b)①

同理p|c(b-a)+(b-c)②,pla(c-b)+(c-a)③.

由①得b-a=b(a-c)(modp),代入②,有c-b=c(b-a)=bc(a-c)(modp),