重难点25 直线与圆综合【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点25直线与圆的综合【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1圆的弦长与中点弦问题】 2

【题型2圆的切线及切线方程问题】 4

【题型3直线与圆中的面积问题】 7

【题型4直线与圆中的最值问题】 11

【题型5距离及其新定义问题】 14

【题型6阿波罗尼斯圆】 16

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 19

【题型8直线与圆中的向量问题】 24

【题型9直线与圆中的探索性问题】 26

1、直线与圆的综合

直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.

【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】

1．圆的弦长的求法：

设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.

【知识点2圆的切线及切线方程问题】

1．自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2．求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求

得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2)重要结论：

①经过圆上一点P的切线方程为.

②经过圆上一点P的切线方程为.

③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为

.

【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法

直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

【题型1圆的弦长与中点弦问题】

【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2-2x-2y-2=0

A．2 B．23 C．27 D

【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.

【解答过程】圆C的标准方程为x-

由此可知圆C的半径为r=2，圆心坐标为C

所以圆心C1,1到直线l:x

所以直线被圆截得的弦长为2r

故选：D.

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m0)与⊙C:

A．1 B．2 C．2-1 D

【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心C(1,0)到直线l:x-y+

【解答过程】如图，取AB的中点D，连接CD,AC，则

??

圆C:(x-1)

圆心C(1,0)到直线l:x

又d=r2

由m0，解得m

故选：C.

【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x-22

A．6 B．7 C．8 D．9

【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.

【解答过程】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r=

而2-22+1-42=910

当直线l与2,1、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2r

而最长弦长为圆的直径为210，故所有弦的弦长范围为[2,2

所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6，

根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，

综上，共9条.

故选：D.

【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx-2与圆C:x2

A．7,4 B．27,8 C．3

【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB的取值范围.

【解答过程】由题易知直线l:y=

圆C:x2

即圆心为C3