重难点12 解三角形的最值和范围问题【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.docxVIP

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】 2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】 3

【题型3三角形周长的最值或范围问题】 4

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】 5

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】 6

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】 7

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】 8

【题型8“坐标法”求最值（范围）】 9

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】 10

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

(2)利用基本不等式求最值（范围）；

(3)转化为三角函数求最值（范围）；

(4)转化为其他函数求最值（范围）；

(5)坐标法求最值（范围）.

2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．

(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】（2024·河北石家庄·三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,

(1)若sinC=2

(2)求△ABC

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA=

(1)求A.

(2)求△ABC面积的取值范围

【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD

??

(1)当α=π3

(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.

【变式1-3】（2024·上海·三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3

(1)求sinC

(2)若c=3，求△ABC面积

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】（2024·四川·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为163，D为AC的中点，求BD

【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan

(1)若B=π6

(2)若a=2，求b

【变式2-2】（2024·广东广州·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c

(1)求A；

(2)若D是边BC上一点（不包括端点），且∠ABD=∠BAD

【变式2-3】（2024·江西鹰潭·二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b

(1)求证：A+2

(2)求a2+

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】（2024·安徽淮北·二模）记△ABC的内角A,B,

(1)试判断△ABC

(2)若c=1，求△ABC

【变式3-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在△ABC中，D为BC边的中点，且AD

(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC

(2)若AB2+

【变式3-2】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C

(1)求角B的取值范围；

(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△

【变式3-3】（2024·湖南常德·一模）已知△ABC的内角A,B,C

(1)判断△ABC

(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】

【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内