重难点20 立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点20立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】 2

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】 6

【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】 10

【题型4角度有关的动态轨迹问题】 13

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】 17

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】 21

1、立体几何中的动态、轨迹问题

“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

【知识点1立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】

1．动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2．立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】

【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若D1F//平面A1EC1

A．3 B．5 C．22 D．

【解题思路】取AD的中点M、CD的中点N，结合题意可得平面D1MN//平面A1EC1，得出线段

【解答过程】如图，取AD的中点M、CD的中点N，连接D1

因为E为BC的中点，M为AD中点，由正方体的性质可得，

CE=DM，CE//

所以ME//CD，ME=CD，又因为

所以ME//C1D1

所以D1M

A1A=C1

所以A1C1//AC，又因为M为AD

所以MN//AC，所以

因为D1M,MN?平面A

所以D1M//平面A1E

又D1M∩MN=

因为D1F//平面A1E

所以动点F的轨迹为线段MN，

又MN=22+2

故选：D．

【变式1-1】（2024·北京昌平·二模）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M是BB1

A．22 B．2 C．1 D．

【解题思路】过点M做平面ABD1

【解答过程】

如图所示E、F、G、M分别是AA1、A1D1

则EF//AD1，EM//AB，所以EF//平面AB

所以平面ABD1//平面EFGM，故点P的轨迹为矩形

MB1=B1

故选：A.

【变式1-2】（2024·江西赣州·二模）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，CD

A．5373 B．237 C．7

【解题思路】作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.

【解答过程】延长AD,AB，交EF的延长线与H,G，连接PG,PH，分别交B

过点A1作A1K//PG交BB1于点K，过点A

因为A1K?平面EFP，PG?平面EFP，所以

同理可得A1N//

因为A1K∩A1

过点N作NM//A1K交

连接MK，则MK

则平行四边形A1KMN（A1

因为正方体棱长为4，E，F分别为棱BC，CD的中点，AA

所以AP=1,

因为A1P=

过点N作NJ⊥CC1于点J，则

则由几何关系可知JM=B1

由勾股定理得A1

所以点Q的轨迹所构成的周长为837

故选：D.

【变式1-3】（2024·山东枣庄·二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P

A．62,2

C．62,3

【解题思路】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.

【解答过程】取CC1的中点为R,取CD的中点为N,取B1

因为M是A1B1的中点，H

所以B1

因