重难点14 奔驰定理与四心问题【五大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

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【题型1奔驰定理】 3

【题型2重心问题】 6

【题型3垂心问题】 9

【题型4内心问题】 12

【题型5外心问题】 15

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

【知识点1奔驰定理】

1．奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1．四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

②重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.

③重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P.

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

②内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心.

2．三角形的四心与奔驰定理的关系

(1)O是△ABC的重心：.

(2)O是△ABC的垂心：.

(3)O是△ABC的内心：.

(4)O是△ABC的外心：

.

【题型1奔驰定理】

【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC

A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6

【解题思路】先根据向量的线性运算得到4PA+6

【解答过程】由QR=13

整理可得：PR=

由RP=13RC可得

所以-12PC

由奔驰定理可得：S△

故选：B.

【变式1-1】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知O为△ABC内一点，且满足3OA+4OB+5

A．25 B．14 C．34

【解题思路】由题意可得4OA+5OB+3OC=0，方法一：延长CO至

【解答过程】因为3OA

所以3OA

即4OA

方法1：∴4OA+5OB

延长CO至H点，令OH=49

则S△

方法2：由奔驰定理，SBOC:S

故选B.

【变式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA?OA+SB?OB+SC?OC=0.“奔驰定理”

A．25 B．12 C．16

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到3OA+OB+2OC

【解答过程】解：∵O为三角形ABC内一点，且满足OA

∴OA+2

∵S

∴S△

故选：D．

【变式1-3】（23-24高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若

A．sin

B．cos

C．tan

D．sin

【解题思路】利用已知条件得到O为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到∠AOB=π-C，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|OA|:|

【解答过程】如图，因为OA?

所以OB?(OA-OC

所以O为ΔABC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以∠AOB

∴OA?

同理，∴OB

∴OC

∴|OA

∴|OA

∴|OA

又S

S

S

∴SA:

由奔驰定理得tanA

故选C．

【题型2重心问题】

【例2】（2024·贵州六盘水·三模）已知点O为△ABC的重心，AC=λ

A．-3 B．-2 C．1 D

【解题思路】作出图形，将OA,OB作为基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再将BC也用OA

【解答过程】根