2024—2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期12月联考数学试卷.docVIP

2024—2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期12月联考数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知直线与，则“”是“”的（）条件.

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

(★★★)3.在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.已知，若点在线段上，则的最小值为（）

A．1

B．

C．

D．

(★★★)6.若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知双曲线的左、右焦点分别是上的一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（）

A．

B．

C．

D．5

二、多选题

(★★★)9.下列说法命题正确的是（）

A．已知，，则在上的投影向量为

B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则

D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为

(★★★)10.已知圆与圆交于，两点，则（）

A．两圆的公切线有2条

B．直线方程为

C．

D．动点在圆上，则的最大值为

(★★★★)11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（）

A．曲线关于直线对称

B．曲线经过点，其方程为

C．曲线围成的图形面积小于

D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

三、填空题

(★★★)12.圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______

(★★★)13.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.

(★★★★)14.如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为______．

四、解答题

(★★★)15.已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且.

(1)求焦点的坐标；

(2)若过点的直线与只有一个交点，求的方程.

(★★★)16.已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为．

(1)求顶点的坐标；

(2)求边所在直线的一般式方程．

(★★★)17.设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．

(★★★)18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离；

(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

(★★★★)19.已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.

①证明：直线过定点；

②设的面积