专题11三角形的综合问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（原卷版）【江苏专用】.pdfVIP

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题11三角形的综合问题

【方法指导】

1.全等三角形解决问题的常见技巧：

（1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）．

（2）作辅助线构造全等三角形

①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．

②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．

2.等腰三角形解题技巧：

（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段．

（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决

问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3.等边三角形常用方法与思路：

（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质

为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，

解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．

（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直

角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．

（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般

三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的

角判定．

【题型剖析】

【考点1】三角形有关角的综合计算

【例1】（2020春•南京期末）【概念认识】

如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是

“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】

（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝85

或100°；

（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，

求∠A的度数；

【延伸推广】

（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交

于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）

【变式1-1】（2019•沭阳县模拟）探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个

简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究ÐBDC与ÐA、ÐB、ÐC之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在DABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若

°

ÐA=50°，则ÐABX+ÐACX=40；

②如图3，DC平分ÐADB，EC平分ÐAEB，若ÐDAE=50°，ÐDBE=130°，求ÐDCE的度数；

③如图4，ÐABD，ÐACD的10等分线相交于点G、G¼、G，若ÐBDC=140°，ÐBGC=77°，求ÐA

1291

的度数．

【变式1-2】（2019春•海安市期末）如图，已知BE是DABC的角平分线，CP是DABC的外角ÐACD的平

分线．延长BE，BA分别交CP于点F，P

1

（1）求证：ÐBFC=ÐBAC；

2

（2）小智同学探