圆锥曲线中的证明、探索性问题课件高三数学二轮复习.pptxVIP

2025高考数学二轮复习圆锥曲线中的证明、探索性问题

考点一证明问题例1(2024福建漳州一模)已知过点F1(-1,0)的直线l与圆F2:(x-1)2+y2=16相交于G,H两点,线段GH的中点为E,过线段GF1的中点F且平行于EF2的直线交GF2于点P,记点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)若A,B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上,点M满足(λ,μ∈R),其中O为坐标原点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①点M在轨迹C上;②直线OA与OB的斜率之积为-;③λ2+μ2=1.

(1)解如图,由题意可知,圆F2:(x-1)2+y2=16的圆心为F2(1,0),半径r=4,由题意可知,直线GH斜率不为0,即P不在x轴上,因为E为GH的中点,则GH⊥EF2,又因为FP∥EF2,则GH⊥FP,即FP为线段GF1的中垂线,则|PG|=|PF1|,可得|PF1|+|PF2|=|PG|+|PF2|=|GF2|=42=|F1F2|,由椭圆定义可知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且不包含长轴的两端点,则a=2,c=1,可得

(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1,A2,T为直线l:x=1上的动点,且T不在x轴上,直线TA1与C的另一个交点为M,直线TA2与C的另一个交点为N,直线MN与x轴的交点为P,直线l与MN的交点为Q,证明:

则lMN:x=my+4,所以点P坐标为(4,0).

考点二探索性问题且左焦点F到渐近线的距离为.过点F作直线l1,l2分别交双曲线E于A,B和C,D,且线段AB,CD的中点分别为M,N.(1)求双曲线E的标准方程;(2)若直线l1,l2斜率的乘积为-,试探究:是否存在定圆T,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4?若存在,请求出圆T的标准方程;若不存在,请说明理由.

(2)如图,由(1)知F(-3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l1:y=k1(x+3),l2:y=k2(x+3),

则kMT=kNT,所以M,T,N三点共线.综上,直线MN过定点T(2,0).所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.

此时直线MN:x=2也经过点(2,0).故直线MN过定点T(2,0).所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.

(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆C交于不同的M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列.椭圆C上是否存在一点P,使得四边形OMPN为平行四边形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.