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压轴专题11圆锥曲线综合问题大题综合

1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当轴时，（O为坐标原点）的面积为2.

(1)求E的方程；

(2)设过点F的直线与E交于C，D两点，且.当时，求直线l的方程.

2．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：．

(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．

3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

4．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.

5．（2023·广东梅州·统考一模）已知动圆经过定点，且与圆：内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线?的斜率分别为?.

（i）求证：为定值；

（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

6．（2023·辽宁鞍山·统考二模）抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A?B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

7．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点.

(1)求双曲线的离心率；

(2)记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

8．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4．

(1)求的方程；

(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值．

9．（2023·河北邯郸·统考一模）已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

10．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知点M为圆上的动点，点，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值．

11．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）.已知双曲线的虚轴长为，右焦点为，点、分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于、两点，设直线、的斜率分别为、，且．

(1)求双曲线的方程：

(2)当点在第一象限时，且时，求直线的方程．

12．（2023·福建厦门·统考二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．

(1)求C的方程；

(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．

13．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

14．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离．

15．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左?右顶点.

(1)求双曲线的方程；

(2)设过点的动直线交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

16．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P到