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【突破压轴冲刺名校】

压轴专题01函数的基本性质小题综合

2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破

（新高考全国卷通用）

一、单选题

1．（2022秋·广东汕头·高三统考期中）已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（????）

A．函数的周期为 B．函数的周期为

C． D．

【答案】C

【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.

【详解】因为函数为奇函数，则，

令，则，

所以，对任意的，，

故函数的图象关于点对称，

因为函数为偶函数，则，

令，可得，

所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，

所以，，

所以，，则，

所以，函数的周期为，AB都错；

对任意的，，令，可得，

，

的值不确定，C对D错.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；

（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；

（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.

在推导周期时，解答时要注意能够根据抽象函数的性质进行代换，从而推导出函数的周期.

2．（2023秋·广东肇庆·高三统考期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可

【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，

所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，

对任意的，，且，都有成立，

所以，

令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，

由是上的奇函数可得是上的偶函数

所以在上单调递减，

当时，不等式得到，矛盾；

当时，转化成即，所以；

当时，转化成，，所以，

综上所述，不等式的解集为

故选：D

3．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（????）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C． D．的一个周期为8

【答案】C

【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C.

【详解】由题意知是奇函数，即，

即，即，

故的图象关于点对称，B结论正确；

又是偶函数，故，

即，故的图象关于直线对称，A结论正确；

由以上可知，即，

所以，则，

故的一个周期为8，D结论正确；

由于，令，可得，

而的图象关于直线对称，故，C结论错误，

故选：C

【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.

4．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（????）

①的一个周期为2????????????????②

③的一条对称轴为????????????④

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.

【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，

因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，

对于①，，

，则函数的周期，故①错误；

对于②，，故②正确；

对于③，，故③正确；

对于④，，则，

，则，

由，则，故④正确.

故选：C.

5．（2022秋·湖南·高三校联考阶段练习）定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，（已知），则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，推出函数的对称性，周期性和单调性，将自变量转到区间内，再根据单调性即可比较大小.

【详解】∵，，∴，

∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，

当时，，在递增，

由对称性知在，递减

∴，，

，

又，，

由条件知，，

∴；

故选：A.

6．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.

【详解】由知是周期为2的周期函数，

函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点