《3.2.2双曲线方程及性质的应用》学案 (1).docVIP

高中数学精编资源

PAGE

PAGE2/NUMPAGES2

§3.2.2.2双曲线方程及性质的应用

目标要求

1、进一步理解并掌握双曲线的几何性质．

2、理解并掌握直线与双曲线的位置关系．

3、理解并掌握弦长和中点问题．

4、理解并掌握双曲线性质的综合应用.

学科素养目标

本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．

本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．

重点难点

重点：弦长和中点问题；

难点：双曲线性质的综合应用．

教学过程

基础知识点

1.双曲线的几何性质

焦点所在的坐标轴

x轴

y轴

标准方程

图形

性

质

范围

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

轴长

实轴长：虚轴长：

渐近线

离心率

，其中

的关系式

（）

2.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率为.

【课前预习思考】

(1)椭圆中要求ab0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？

(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？

类型一直线与双曲线的位置关系(数学抽象)

【课堂题组训练】

题1.过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5－a2)＝1(a＞0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则a的取值范围为()

A(1，eq\r(2))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),2)))C．(eq\r(2)，2)D．(2，eq\r(5))

题2.已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程．

【解题策略提醒】

1．直线与双曲线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).

Δ0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

2．数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用

(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．

(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．

【教师补充训练】

题3.已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．

(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；

(3)直线l与双曲线没有公共点．

类型二弦长和中点问题(逻辑推理、数学运算)

【典例】题4.(1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1截得的弦长．

(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1截得的弦中点的轨迹方程．

【解题策略提醒】

弦长及中点弦问题的解题策略

(1)利用弦长公式AB＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xA＋xB）2－4xAxB)，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．

(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将