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《数量积的坐标表示及其计算》教学设计一

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

先回顾实数与向量的乘积的坐标表示、两向量共线的坐标表示和平面两向量数量积的表示,然后提出问题：平面两向量数量积又如何进行坐标表示呢？

教师由复习导入新课,学生回答提出的问题,教师点评.

引导学生回顾前面几节课学习的内容,这些都是学好本节课的基础.

形成概念

探究1：已知两个非零向量a=x1,y

a?b=

即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

探究2：向量模的坐标表示

(1)若a=(x,y)

|

(2)若

AB的模（即A,B两点间的距离）呢？

|AB|=

探究3：向量夹角、垂直的坐标表示

设a,b都是非零向量,a=x1,y1,bx2,y

向量夹角的坐标表示：

教师巡视辅导学生,解决遇到的困难,估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难,点拨学生：i

1,i·j=0.

学生展示探究结果,教师给予点评.

教师提出问题,学生独立思考探究,合作交流,让学生展示探究的结论,教师总结.

学生独立思考、探究,合作交流,教师让学生展示探究的结论,全班总结.

教师一定要提醒学生注意a⊥b与

引导学生通过自主探究以及合作交流,寻求问题的解决方法,及时归纳总结.

通过定理的拓展完善,为下面的初步应用埋下伏笔.

应用举例

例1若点A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5）,则△ABC是什么形状？证明你的猜想.

解：如图,在平面直角坐标系中画出点A,BC,我们发现△ABC是直角三角形,证明如下.

因为AB

AC

所以

因此,△ABC是直角三角形.

例2设a=

cos

利用计算器中的

例3用向量方法证明两角差的余弦公式

cos

证明：如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以x轴的非负半轴为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则

OA

教师出示例1并提出问题：如何证明一个三角形是锐角、直角或钝角三角形？

找学生上黑板完成例1,教师给予点评.

教师出示例2

提出问题：求a与

学生思考并给出回答：为求a与b的夹角,需先求a?b及a∣?????∣b,再结合夹角θ

教师出示例3.

先找学生上黑板用原来学过的方法证明这个公式,然后教师点评教师与学生一起用向量的方法证明这个公式.

师：这两种方法哪一种简洁？

生：向量的方法.

进一步深化对平面向量数量积的坐标表示的认识和理解初步运用本课所学知识解题,及时巩固新知.

应用举例

由向量数量积的坐标表示,有

OA

设

OA

所以

另一方面,由图（1）可知α=2kπ+β+θ;

由图（2）可知,α=2kπ+β-θ,于是

cos

于是

cos

学生回顾前面所学内容给出（1）的回答：a=λb(b≠0).教师接着抛出问题（2）,学生进行思考讨论、探究并给予回答：

由a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,则有

x

消去λ,得x1y2-x2y1

教师给予点评总结,并提出问题（3）（4）（5）,学生思考讨论后给出回答.

（3）不能.∵y1,y2有可能为0,b≠0

（4）不能.∵x1,

(5)a//b(b≠0)

通过探究与问题形式,培养学生合作学习、独立思考的能力,提升逻辑推理核心素养.

归纳总结

1.向量数量积的坐标表示公式.

2.向量模的坐标表示公式.

3两向量夹角坐标表示公式.

学生先各自回顾反思并汇报,教师再点评完善.

形成知识体系.

课后作业

教材第37页练习第1～3题.

学生课后独立完成.

巩固新知,提升能力.

板书设计

数量积的坐标表示及其计算

一、复习引入

二、形成概念

1.向量数量积的坐标表示公式

a?

2.向量模的坐标表示公式：

|

3．（1）两向量夹角的坐标表示公式：

cos

（2）垂直判定:

a⊥b?a?b=0?

(3)

三、应用举例

例1

例2

例3

四、归纳总结

五、课后作业

教学研讨

本案例在设计上主要采用探究式学习的模式,学习的过程以学生为主体,教师只起到一个辅助的作用,符合现代教学规律,在例题的设计上采用了教材上的三个例题,如果时间允许,每个例题下紧跟一个类题会更好.