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《数量积的定义及计算》课标解读

教材分析

数量积的定义及计算这节内容包括向量数量积的定义、投影向量、向量数量积的性质、运算律及其应用.它是继向量的加法、减法,向量的数乘等线性运算之后又一新的运算,是前面知识的延续,又是学好后续知识的基础,起承上启下的作用.本节内容在数学、物理等学科中的应用广泛,可将本节分为两课时,第一课时主要研究数量积的定义及计算﹔第二课时主要研究数量积的坐标表示及其计算.

本节所涉及的主要核心素养有:数学抽象、数学运算、逻辑推理等.

学情分析

学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算﹐具备了功、力等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律.这为学生学习向量的数量积做了很好的铺垫,使学生倍感亲切.但也正是这些干扰了学生对向量数量积概念的理解,一方面,相对于线性运算而言,向量数量积的结果发生了本质的变化,两个向量经过数量积运算后,“形”消失了,学生对这一点是很难接受的;另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对向量数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解.

教学建议

向量的数量积是过去学习中没有接触过的一种新的乘法,与数的乘法既有区别又有联系,教学中可以引导学生对这两种乘法进行对比.对于向量数量积的定义及有关结论,可以让学生通过探究独立完成.关于向量数量积的运算律,其中分配律教材给出了详细的证明,对于另外两个运算律,让学生独立完成证明,教师给予适当点评.

学科核心素养

目标与素养

1.了解向量数量积的物理背景,理解向量数量积的含义及其物理意义,达到数学抽象核心素养水平一的要求.

2.体会向量的数量积与向量投影的关系,达到数学抽象和直观想象核心素养水平一的要求.

3.掌握向量数量积的性质,并能运用性质进行相关的运算和判断,达到逻辑推理和数学运算核心素养水平一的要求.

情境与问题

通过复习前面所学的向量的加减法和向量的数乘运算,自然而然地提出“向量与向量能否进行相乘呢?”的问题,顺利引入本课所学内容.

内容与节点

在本节内容之前已学习了向量的加减和向量的数乘运算,接下来学习向量与向量乘积的关系也就顺理成章了,同时本课内容也是后面学习平面向量基本定理的基础.

过程与方法

1.通过对物理中做功问题的分析过程,引出向量的数量积的概念,提升学生的数学抽象核心素养.

2.通过对投影向量的探究过程,提升学生的直观想象与逻辑推理核心素养.

3.通过向量之间位置的特殊性,找出向量数量积的有关性质的过程,提升学生的逻辑推理核心素养.

教学重点难点

重点

向量数量积的概念和投影向量的概念,向量数量积的重要性质.

难点

向量数量积的性质的应用.