人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积.docVIP

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第2课时空间向量的数量积

课后训练巩固提升

A组

1.若a,b均为非零向量,则“a·b=|a||b|”是“a与b共线”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:a与b共线有同向和异向两种情况,只有a与b同向时才有a·b=|a||b|成立.

答案:A

2.已知非零向量a,b不共线,且其模相等,则a+b与a-b的关系是()

A.垂直

B.共线

C.不垂直

D.以上都可能

解析:∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,

∴a+b与a-b垂直.

答案:A

3.如图,已知空间四边形ABCD的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,则()

A.AE

B.AE

C.AE

D.AE·

答案:C

4.已知a,b均为单位向量,且它们的夹角为60°,则|a+3b|=()

A.7 B.10 C.13 D.4

解析:|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6|a||b|cosa,b+9|b|2.

∵|a|=|b|=1,a,b=60°,

∴|a+3b|2=13,

∴|a+3b|=13.

答案:C

5.(多选题)在四面体PABC中,下列说法正确的有()

A.若AD=13AC

B.若Q为△ABC的重心,则PQ

C.若PA·BC=0,PC·

D.若四面体PABC各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=1

解析:对于A,∵AD=13AC+23AB,∴3AD=AC+2AB,

∴3BD=

对于B,∵Q为△ABC的重心,∴QA+QB+QC=0,∴3PQ+QA+QB+QC=3PQ,∴(PQ+

对于C,若PA·BC=0,PC·AB=0,则PA·BC+PC·AB=0,∴PA·BC+

对于D,∵MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),

答案:ABC

6.已知空间四边形ABCD,则AB·CD+

解析:设AB=a,AC=b,AD=c,

则原式=a·(c-b)+(b-a)·c-b·(c-a)=a·c-a·b+b·c-a·c-b·c+b·a=0.

答案:0

7.如图,已知正四面体ABCD的棱长均为1,点E是棱CD的中点,则AE·AB=

解析:∵正四面体ABCD的棱长均为1,点E是棱CD的中点,

∴AE·AB=12(AC

答案:1

8.已知a,b是异面直线,A,B,C,D是空间中的点,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是.?

解析:设AB,

∵AB·CD=(AC+CD+DB)·

∴cosθ=AB·

又0°≤θ≤180°,

∴θ=60°.

故异面直线a与b所成的角为60°.

答案:60°

9.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求a,b.

解:由已知,得(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,

(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,

解得|b|2=2a·b=|a|2,

因此cosa,b=a·b|

10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长都为2,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,E是DC的中点,F是B1C的中点,求|D1

解:设AB=a,AD=b,AA

则由题意知|a|=|b|=|c|=2,a,b=b,c=a,c=60°.

∵D1F=AF-AD

∴|D1F|2=a-12b-12c2=a2

∴|D1F|=

B组

1.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AB·

A.-2 B.2

C.-23 D.23

解析:AB·CD=AB·(

答案:A

2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°,则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为()

A.6

B.105

C.15

D.14

解析:设AB=a,AD=b,AA

则a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos120°=-1.

∵AC

∴|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c

∴|AC1|=

∵A1

∴|A1D|=

A1

∴cosA1D,AC

∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147

答案:D

3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不确定

解析:∵BD=AD-AB,BC=AC-AB,BD·BC=(

∴cos∠CBD=cosBC,BD=

∴∠CBD为锐角.

同理,∠BCD与∠BDC均为锐角,

∴△BCD为锐角三角形.

答案: