人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.2.2 空间中的平面与空间向量.docVIP

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1.2.2空间中的平面与空间向量

课后训练巩固提升

A组

1.下列说法不正确的是()

A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B.一个平面的所有法向量互相平行

C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直

D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量

解析:a与b可能共线,故D不正确.

答案:D

2.若直线l∥平面α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的一个法向量为1,

A.-4 B.-6 C.-8 D.8

解析:∵l∥α,

∴1×2+12

∴m=-8.

答案:C

3.设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则实数k=()

A.2 B.-4 C.4 D.-2

解析:由题可知,-2

答案:C

4.已知斜线b在平面α内的射影为c,直线a⊥c,则直线a与斜线b()

A.垂直 B.不一定垂直

C.共面或垂直 D.以上都有可能

解析:直线a与斜线b的位置关系不定.

答案:D

5.(多选题)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),平面α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点在平面α内的是 ()

A.P(1,-1,1) B.Q1

C.R2,2

解析:对于选项A,PA=(1,0,1),则PA·n=5≠0,故排除A;对于选项B,QA=1,-4,12,则QA·n=0,Q1,3,32在平面α内;对于选项C,RA=0,-3,32,RA·n=-3+2×

答案:BC

6.已知△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形,其中BA=(1,m,2),BC=(2,m,n)(m,n∈R),则m+n=.?

解析:由题意,得BA·BC=0,且|BA|=|

∴2+m2

答案:-1

7.如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC交BC于点D,连接AD,则图中共有个直角三角形.?

解析:直角三角形有△PAB,△PAD,△PAC,△ABC,△ADC,△ADB,△PDC,△PDB,共8个.

答案:8

8.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD.其中正确的是

解析:AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则AB⊥AP,即AP

AP·AD=4×(-1)+2×2+0=0,则AP⊥AD,即AP

∵AP⊥

∴AP⊥平面ABCD,故AP是平面ABCD的一个法向量,③正确.

∵BD=AD-AB=(2,3,4),显然

答案:①②③

9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点.求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.

证明:由题意,得AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,BA,

则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12.则AA1

设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

则n

令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).

设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

则n

令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4).

∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2.

∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.

10.如图所示,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E为PD的中点.

求证:(1)AC⊥PB;

(2)PB∥平面AEC.

证明:(1)由题意,得AC,AB,AP两两垂直,以A为坐标原点,AC,AB,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.设PA=1,AC=x,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(x,0,0),AC=(x,0,0),PB=(0,1,-1).∵AC·PB

(2)由(1)得D(x,-1,0),Ex2,-1

则PB=-2AE+AC,∴PB

∵PB?平面AEC,∴PB∥平面AEC.

B组

1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中点,则AE·

A.0 B.1

C.2 D.3

解析:如图,以D为原点,DB,DC,DA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系.设DC=DB=a,DA=b,则B(a,0,0),C(0,a,0),A(0,0,b),Ea2,a2,0,所以BC=(-a,a,0),AE

答案:A

2.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(