人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 复习课 第1课时 空间向量与立体几何.docVIP

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复习课

第1课时空间向量与立体几何

课后训练巩固提升

A组

1.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD.若△BCD是正三角形,且E为其中心,则AB+

A.AB B.2BD C.0 D.2DE

解析:如图,设BC的中点为F,E是DF的三等分点,∴32

∴12BC=BF

答案:C

2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()

A.627 B.637 C.64

解析:若a,b,c三向量共面,则存在x,y使c=xa+yb,即7=2x-y,

答案:D

3.已知平面α的一个法向量为n=(2,-2,4),AB=(-3,1,2),点A不在α内,则直线AB与平面α的位置关系为()

A.AB⊥α B.AB?α

C.AB与α相交不垂直 D.AB∥α

解析:∵n·AB=(2,-2,4)·(-3,1,2)=-6-2+8=0,

∴n⊥AB.

又点A不在α内,

∴AB∥α.

答案:D

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()

A.64 B.

C.26 D.

答案:A

5.在空间直角坐标系中,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示.若E,F分别是BC,DD1的中点,则EF的坐标为.?

答案:(-1,-2,1)

6.已知点P和不共线三点A,B,C四点共面,且对于空间任一点O,都有OP=2OA+OB+λOC,则λ=

解析:∵点P和不共线三点A,B,C四点共面,

∴2+1+λ=1,∴λ=-2.

答案:-2

7.在三棱锥P-ABC中,若PA=PB=PC=AB=AC=1,∠BAC=90°,则直线PA与底面ABC所成角的大小为.?

解析:由条件知,AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC=2,∵PB=PC=1,∴∠BPC=90°,取BC的中点E,则PE=22,AE=2

∴∠PEA=90°,∴∠PAE=45°.

∵E为BC的中点,∴PE⊥BC,AE⊥BC,

∴BC⊥平面PAE,∴平面PAE⊥平面ABC,

∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角.

即直线PA与底面ABC所成角的大小为45°.

答案:45°

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AC与BD相交于点O,G为BD上一点,BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,试用基底{a,b,c}表示向量PG.

解:∵BG=2GD,∴BG=

又BD=BA+BC=PA-PB+PC-PB

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.

(1)求证:B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

解:以A为原点,AB,

设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0,B1(a,0,1).

(1)证明:AD1=(0,1,1),B1E=(-a2,1,-1),因为AD1·B

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时DP=(0,-1,z0).

设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).

因为n⊥平面B1AE,AB1=(a,0,1),AE=(a2,1,0),所以n⊥AB1

取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-a2,-a),要使DP∥平面B1AE,只需n⊥DP,有a2-az0=0,解得z0=12.所以AP=12,所以在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B

B组

1.如图,在直二面角α-l-β中,A,B∈l,AC?α,AC⊥l,BD?β,BD⊥l,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长是()

A.25 B.26

C.27 D.28

解析:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC·AB=0,BD·AB=0,

∴|CD|2=|CA+AB+BD|2=676,

答案:B

2.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起,使点A在平面BCD内的射影落在边BC上.若二面角C-AB-D的平面角大小为θ,则sinθ的值等于()

A.34 B.74 C.3

解析:如图,∵AO⊥平面BCD,

∴AO⊥CD.又CD⊥BC,

∴CD⊥平面ABC,AB⊥CD.

∵AB⊥DA,∴AB⊥平面ACD,

∴AC⊥AB,∠DAC为二面角C-AB-D的平面角.

在Rt△ACD中,CD=3,AD=4,则sin∠DAC=sinθ=34

答案:A

3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为