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《总体离散程度的估计》教学设计二

教学设计

一、情境导入

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本，检查它们的抗拉强度（单位：MPa）如下：甲：110120130125120

125135125135125

乙：115100125130115

125125145125145

思考1：哪种钢筋的质量较好？

让学生分组计算甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，采用分组的方法，一方面让全体同学都参与计算，另一方面可节省时间.

计算结果为：甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度均是125.

引导学生发现：虽然两种钢筋的平均抗拉强度相同，但很明显两组数据的离散程度并不同.根据预习教材内容，还可以用哪种方法来比较？

学生可能回答：可以用极差.

思考2：如何求极差呢？

生：最大值减去最小值.

让学生分组计算甲、乙两组数据的极差，学生进行口答：极差大，数据离散程度也大.

继续引导学生总结：极差有一个最大的缺点，那就是它只考虑了最大值与最小值之差，而没有考虑其他数值，所以只能粗略反映数据的离散程度.

思考3：为了把所有的数值都考虑进去，更精确地反映离散程度，我们就不能再用极差，而要采用其他的方法，那么你还能想出其他刻画数据离散程度的方法吗？

设计意图：从学生的实际情况出发，创设情境，使学生的思维能很快进入课堂学习状态，既加深理解了已学的知识，又给学生留下了悬念，激发他们进一步学习新知识的欲望.

二、讲授新课

教师引导：我们知道，如果一组数据很稳定，那么大多数的数据离平均数不会太远；相反，如果数据波动幅度很大，那么大多数的数据离平均数比较远.因此，我们可以通过数据与其平均数的“平均距离”来度量数据的波动幅度.

师：如何定义“平均距离”呢？

学生讨论，指名回答师生共同总结.

假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即

作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为

.

师：怎样避免式中含有绝对值？

为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即

.（1）

我们称（1）式为这组数据的方差有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式

.

引导学生：刚才，我们采用了平方的方法避免了式中含有绝对值.但方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致该怎么办？

学生回答：开方.

教师直接指出：开方后形成的特征量我们叫它标准差.

例如上面那组数据的标准差为.

引导学生自己总结：标准差是方差的平方根.

思考4：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，那么方差与标准差怎么求？

学生讨论，思考得出结论.

如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称

为总体方差，为总体标准差.与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为

.

如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称

为样本方差，为样本标准差.

思考5：以上我们学习了方差和标准差的概念及计算方法，那么，我们如何根据方差和标准差的大小来衡量离散程度的大小呢？

让学生计算“情境导入”中两组数据的方差和标准差.

引导学生观察，根据以上计算结果总结出结论：

方差和标准差越大，数据的离散程度越大；方差和标准差越小，数据的离散程度越小.

三、例题讲解

教师出示例题，让学生先小组讨论，再集体交流、讲评.

例在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和1259，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？

教师给出规范的解题过程.

解：把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.

根据方差的定义，总样本方差为

.

由，可得

.

同理可得

.

因此

.①

由，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为

把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得

.

我们可以计算出总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.

设计意图：例题的目的是巩固新知识，培养学生分析问题的能力，同时可以发现学生在理解方面存在的问题，找出教学中的薄弱环节，以便及时采取相应的补救措施.

完