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《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教学设计

教学设计

一、导入新课

观察图片，用一句成语概括图片的意思，该成语能不能和数学中的什么思想联系在一起？

比喻只看到事物的一部分，指所见不全面或略有所得.（提示：管中窥豹，可见一斑）

比喻看到的只是一部分，即可以从观察的部分推测到全貌.（提示：窥一斑而知全豹）

虽然从管中只能看见豹身上的一块斑纹，但是可以推想出整个豹子身上花纹的样子，就是透过部分可以看出全部，这就是数学中的“用样本估计总体”的统计思想.本节课要学习用样本的数字特征估计总体的数字特征.

设计意图：数学源于生活，又服务于生活.将发生在学生身边的实际问题引入课堂，更有利于激发学生的兴趣和参与意识.

二、新课探究

1.情境与问题.

以下是某学校高一98位同学的身高（单位：cm）：

161168166168152152163164170167143166153165

168167163157160159153169172175165161158172

147164171149158155169150173170162157152180

178158162164172165165155163178159168161151

166168165158162165163166174163163175165160

161177163170155156161169167151156158165179

161176162168153169155165163166172160173164

已知这组数的总体平均数为163.5，总体方差为56.3.

问题1：用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为10的样本3次，分别计算样本平均数与样本方差.

将学生分成三个小组，分别抽取容量为10的样本，计算样本平均数与样本方差.

生：三个小组派代表展示计算结果.

问题2：将样本平均数和样本方差与总体对应的值进行比较，能得到什么结论？

生：分组讨论.

师：（1）如果样本的容量恰当，抽样方法合理，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称样本均值）、方差（也称样本方差）与总体对应的值相差不会太大.

（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.

问题3：为什么要用样本的数字特征去估计总体的数字特征？

生：分组讨论.

师：（1）能节省人力和物力.

（2）有时总体的数字特征不可能获得，如调查具有破坏性时.

问题4：样本的数字特征与总体的数字特征的大小关系是什么？

生：分组讨论.

师：用样本的数字特征估计总体的数字特征一般是有误差的.例如，如果总体平均数记为，样本均值记为，一般来说，，，都有可能.但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大.

设计意图：通过解答教材中的“情境与问题”，引导学生分析解答，设计的目的在于让学生感受用样本的数字特征估计总体的数字特征的随机性、合理性.

2.尝试与发现.

在考察某中学的学生身高时，如果采用分层抽样的方法，得到男生身高的平均数为170，方差为16；女生身高的平均数为165，方差为25.

问题1：如果没有其他信息，怎样估计总体的平均数与方差？

生：分组讨论后展示方案.

师：方案一：选择男生（或女生）样本的平均数与方差作为总体对应值的估计.

方案二：取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的估计，即估计总体平均数为，

估计总体方差为.

请大家想一想，这两种方法哪种更合理？你还有更好的解决方法吗？

问题2：如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎样估计总体的平均数与方差？

师：以分两层抽样的情况为例.假设第一层有个数，分别为，，…，，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，，…，，平均数为，方差为.则，，，.如果记样本均值为，样本方差为，则

，

.

你能通过上述公式，估计问题2中的总体平均数和方差吗？

设计意图：以教材“尝试与发现”为问题背景，引导学生分析解答，设计的目的在于让学生感受用样本的数字特征估计总体的数字特征的应用价值.

三、应用反馈

例随机抽取某中学某班8名同学，获得他们期中考试数学成绩的茎叶图如图.估计该班数学成绩的平均数和方差.

分析可先将样本中的每一个数都减去同一个常数，得到一组新数据，然后计算其平均数和方差，进而得到样本的平均数和方差，最后估计该班数学成绩的平均数和方差.

解将样本中的每一个数都减去85，可得

-6，-7，3，-1，-3，-4，10，8，

这组数的平均数为，

方差为，

因此可