人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理.docVIP

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6.3.1平面向量基本定理

课后训练巩固提升

一、A组

1.如图所示,在矩形ABCD中,若BC=6e1,DC=4e2,则OC等于()

A.3e1+2e2

B.3e1-2e2

C.2e1+3e2

D.2e1-3e2

解析:OC=12AC=12

答案:A

2.若OP1=a,OP2=b,P1P

A.a+λb B.λa+(1-λ)b

C.λa+b D.11+λa+

解析:∵OP=OP1+P1P=a+λ

答案:D

3.在△ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以AB=e1,AC=e2为基底,则AF等于()

A.14e1+34e2 B.34e

C.14e1-14e2 D.14e

解析:∵D,E,F依次是BC的四等分点,

∴AE=12(AB+AC)=12(e1

∴AF=AE+EF=12(e1+e2)+14BC=12(e1+e2)+1

答案:A

4.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC

A.-1 B.12

解析:∵B,H,C三点共线,∴AH=(1-t)AB+t

∴2AM=(1-t)AB+tAC

∴AM

∴λ=1-t2,μ=t2

答案:B

5.(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是()

A.e1与e1-e2 B.e1+e2与e1-3e2

C.e1-2e2与-3e1+6e2 D.2e1+3e2与e1-2e2

解析:对于选项A,B,D,所给的两个向量不共线,故可以作为基底;对于选项C,

∵-3e1+6e2=-3(e1-2e2),

∴e1-2e2与-3e1+6e2共线,故不能作为基底.

答案:ABD

6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC=,OD=.?

解析:OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2

OD=OC+CD=OC+13AB=(23e1+13e2)+13

答案:23e1+13e213e1+

7.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,用m,n表示p的结果是.?

解析:设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,

得2x+4y=3,-

故p=-74m+13

答案:p=-74m+13

8.已知正三角形ABC的边长为2,设BC=2BD,AC=3AE,则AD·

解析:AD·BE=

=12(

=1

=16×2-12×4+

答案:-2

9.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.

(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;

(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;

(3)若4e1-3e2=λa+ub,求λ,u的值.

(1)证明:假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).

由e1,e2不共线,得λ=1

故λ不存在,即a与b不共线,可以作为一个基底.

(2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.

因为e1,e2不共线,

所以m+n=3,-

故c=2a+b.

(3)解:由4e1-3e2=λa+ub,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(λ+u)e1+(-2λ+3u)e2,

得λ+u=4,-

二、B组

1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP

A.m0,n0 B.m0,n0

C.m0,n0 D.m0,n0

解析:如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=

很明显OA与

OB与

答案:B

2.在△ABC中,(AB-AC)·(AB+AC)=0,

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:∵(AB-AC)·(

∴AB2-AC2=0,∴

∵AB2=

∴AB·(

∴AB

∴

∴△ABC是等腰直角三角形.

答案:D

3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为

解析:如图,由题意知,D为AB的中点,BE=

则DE=DB

即λ1=-16,λ2=

故λ1+λ2=-1

答案:1

4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设AB=a,AD=b,若用a,b来表示向量AN,则AN=.?

解析:以AB=a,AD=b作为以点A为公共起点的一组基底,则AN=AD+DN=

答案:3