北师版九年级数学 第二章 一元二次方程（压轴专练）（九大题型）.docxVIP

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第二章一元二次方程（压轴专练）（九大题型）

题型1：公式法解一元二次方程

1．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为．

2．阅读下面的例题：分解因式：．

解：令得到一个关于的一元二次方程，

，

．

解得，；

．

这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：

(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为；

(2)将代数式分解因式．

题型2：换元法解一元二次方程

3．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设，那么，于是原方程可变为，

解这个方程得：，．

当时，，∴；当时，，∴

所以原方程有四个根：，，，．

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．

(2)若，求的值．

(3)利用换元法解方程：．

4．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2??已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：解方程：．

(2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值．

(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值．

5．阅读材料，解答问题：

材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根．

材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根．

请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：

(1)已知实数a，满足，，求的值；

(2)已知实数a，b满足，，且，求的值．

6．阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

【材料2】

已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为；

(2)间接应用：

已知实数，满足：，且，求的值．

题型3：一元二次方程根与系数的关系的综合应用

7．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则，．

(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．

8．对于一元二次方程，下列说法：

①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（????）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④

9．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．

（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出，的值．

②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．

10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．

请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；

(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．

题型4：新定义题型、材料题

11．阅读材料：

材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；

材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．

请根据上述材料解决下面问题：

(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；

(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；

(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．

12．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“