北师版九年级数学 第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）.docxVIP

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第四章图形的相似知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

一、相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).

要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

要点：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）．

4.平行线分线段成比例：

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

二、相似三角形

相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.

要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3)相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

三、位似

1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

03

03题型归纳

题型一成比例线段比例的性质

例题

1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（????）

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

巩固训练

2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（????）

A． B．

C． D．

3．若，则下列式子不正确的是（????）

A． B． C． D．

4．若，则的值为．

5．若，则．

6．若，且，则的值为．

题型二黄金分割

例题

7．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（????）

A． B． C． D．1

巩固训练

8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则．

9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝．

10．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是．

11．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（????）

A． B．

C． D．

题型三平行线分线段成比例

例题

12．如图，，，，则的长是（????）

A．3 B．4 C．6 D．10

巩固训练

13．如图，已知，那么（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

14．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则．

15．如图，直线，直线和被，，所截，如果则DE的长是．

16．如图，，，，，则．

??

题型四平行线分