北师版九年级数学 第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单）.docxVIP

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第二章一元二次方程知识归纳与题型突破（八类题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

一、一元二次方程的有关概念

1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

二、一元二次方程的解法

1．基本思想一元二次方程一元一次方程

2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．

三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.

（1）当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.

注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

四、列一元二次方程解应用题

1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

要点：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

03

03题型归纳

题型一一元二次方程的概念及求参数

例题

1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（????）

A． B．

C． D．

巩固训练

2．把化成一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．

3．关于的方程是一元二次方程，则的值是（）

A． B． C． D．为任意实数

4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（????）

A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0

题型二一元二次方程的根及其应用

例题

5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是．

巩固训练

6．若m是方程的一个根，则代数式的值是．

7．若是关于的方程的解，则的值为．

题型三一元二次方程的解法

例题

8．一元二次方程的实数根为（????）

A．B．C． D．

巩固训练

9．方程y2＝-a有实数根的条件是（????）

A．a≤0 B．a≥0 C．a0 D．a为任何实数

10．方程的解为（????）

A．B．C． D．

11．形如的方程，下列说法错误的是（????）

A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根

C．时，原方程无实数根D．原方程的根为

12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（????）

A．化为 B．化为

C．化为 D．化为

13．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个