北师版九年级数学 第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型）.docxVIP

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第四章图形的相似（压轴专练）（十大题型）

题型1：相似三角形解答证明题

1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．

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(1)如图1，求的度数．

(2)如图2，若，求的值．

(3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长．

2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．

(1)直接判断与的位置关系

(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；

(3)在（2）的条件下，若，，求的长．

题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用

3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．

(1)求证：；

(2)连接，如图2，

①若，求的长；

②若，则．

4．综合与实践

已知：矩形，是边上一点．

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【基本图形】

（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；

【类比探究】

（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；

【扩展延伸】

（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．

题型3：翻折问题

5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．

(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，

①求证：；

②判定的形状，并说明理由；

(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．

①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；

②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．

6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线CD交于点G，连接．

(1)当时，求的长．

小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长．

请用小星的方法或自己的方法求的长；

(2)当G是CD的中点时，求的长；

(3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线AD翻折得到，直线DE与直线交于点F，若，求BD的长．

7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．

（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．

（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．

题型4：旋转问题

8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：

①；

②；

(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．

①求证：，

②的面积是．

9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；

尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；

拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．

10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．

(1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；

(2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；

(3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．

题型5：最值问题

11．如图，在中，，点D为一点，连接．

(1)如图1，若，，求的长；

(2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；

(3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值．

12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．

(1)如图1，连接，

①求的度数；

②求证：．

(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．

(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．

②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．

13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．

(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；

(2)如图②，当D是的中点时，求证：；

(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．

题型6：比值问题

14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．

(1)图1中，求证：；

(2)当绕点旋转到如图2所示的