第13讲 指数函数（解析版）_1.docxVIP

第13讲指数函数

【知识梳理】

指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

【典型例题】

考点一：指数函数的定义

（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（????）条件

A．充要条件 B．充分不必要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可.

【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，

∴q是p的必要不充分条件.

故选：C．

（2018秋?西安区校级期中）函数y＝8﹣23﹣x（x≥0）的值域为[0，8）．

【分析】把函数式进行等价变形，利用此函数是个增函数（因为是减函数，故8﹣是增函数），求出函数的值域，

【解答】解：y＝8﹣23﹣x＝8﹣（x≥0），

在[0，+∞）上是个增函数，故x＝0时，函数有最小值0，

当x趋向正无穷大时，函数值趋于8，

故函数的值域是[0，8）．

【点评】本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域的方法，体现了转化的数学思想．

（2019秋?江阴市期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．

【分析】函数定义域为R可转化成≥0恒成立，即x2+2ax﹣a≥0恒成立，根据判别式可求出所求．

【解答】解：∵函数定义域为R

∴≥0恒成立即x2+2ax﹣a≥0恒成立

则Δ＝（2a）2+4a≤0，解得﹣1≤a≤0

故答案为：[﹣1，0]

【点评】本题主要考查了函数的定义域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的能力，属于基础题．

考点二：单调性

（2022·江苏省天一中学高一期末）已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数在上的单调递增，可知，由此即可求出结果.

【详解】因为函数是上的增函数，

所以，解得.

故选：D.

（2022·江苏·高一）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围．

【详解】依题可知函数在上是增函数，

∴，解得．

故选：B．

（多选）（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）函数在下列那些区间上单调递增（????）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】令，利用复合函数的单调性求解.

【详解】令，在上递减，在上递增，

又在R上递减，

所以函数在上递增，在上递减，

故选;ABD

（2021秋?姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（）

A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a

【分析】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．

【解答】解：a＝（）﹣0.3＝（）0.3∈（0，1），c＝（）∈（0，1）且（）0.3＞（），b＝1.10.7＞1，

所以b＞a＞c．

故选：C．

考点三：函数性质应用

（2020秋?江阴市校级期中）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，一定有（）

A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0

【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．

【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，

∴0＜a＜1，且b＜0．

故选：A．

（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由解析式判断分段函数的单调性，根据单调性有在上恒成立，求a的范围.

【详解】由在上递增，值域为，

在上递增，值域为，

所以在定义域上递增，且值域为，

由题设不等式恒成立，即，

故在上恒成立，

所以.

故选：D

（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为，所以的定义域