第09讲 指数与指数函数 期末大总结(原卷版)_1.docxVIP

第9讲指数与指数函数期末大总结

目录速览

第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：根式的化简(求值)

必会题型二：分数指数幂的计算

必会题型三：指数函数的图象及应用

必会题型四：指数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域

必会题型五：与指数函数的相关的综合问题

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．根式：正数a的正n次方根叫作a的n次算术根；根式具有的性质：

(1)(eq\r(n,a))n＝a(n＞1，且n∈N＋)；(2)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(当n为奇数)，,|a|(当n为偶数).))

(3)eq\r(n,0)＝0；(4)eq\r(m,an)＝(eq\r(m,a))n(a≥0)

[名师点睛]根式的化简，常先把根式转化为分数指数，运用指数的运算性质化简后，再转化为根式．

2．分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的eq\f(m,n)次幂，记作b＝amn，它就是分数指数幂．

(1)指数幂几个结论：

①正分数指数幂的根式形式：amn＝eq\r(n,am)(a＞0)．

②负分数指数幂的意义：a－mn＝1amn(a＞0，m，n∈

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)指数幂的运算性质，若a＞0，b＞0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：

①am·an＝am＋n；②(am)n＝am·n；③(ab)m＝ambm．

3．指数函数定义：函数y＝ax叫作指数函数，其中底数a＞0且a≠1，定义域为R，值域为(0，＋∞)．

4．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质

a＞1

0＜a＜1

图像性质

(1)R上的增函数

(2)①x＞0时，y＞1；

②x＜0时，0＜y＜1

(1)R上的减函数

(2)①x＞0时，0＜y＜1；

②x＜0时，y＞1

共同性质

(1)定义域：R(2)值域(0，＋∞)(3)过定点(0，1)点，即x＝0时，y＝1

5．比较指数值大小的方法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同底数→指数函数单调性法比较，,同指数→幂函数单调性比较或图像法,底数、指数均不同→引入中间量(如1)))

6．指数函数综合性质

(1)定点：形如y＝k·ax＋c＋b的函数图象恒过定点(－c，k＋b)

(2)对称规律：y＝axeq\o(————→,\s\up7(关于y轴对称))y＝a－x；

y＝axeq\o(————→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－ax；y＝axeq\o(————→,\s\up7(关于原点对称))y＝－a－x

(3)底数大小规律：作直线x＝1与y＝ax交于点(1，a)，如图则有0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1

7．形如f(x)＝ag(x)的函数：

(1)f(x)＝ag(x)的定义域与g(x)的定义域相同

(2)f(x)＝ag(x)的单调性[同增异减]：

①a＞1时f(x)与g(x)的单调性相同

②0＜a＜1时f(x)与g(x)的单调性相反

(3)f(x)＝ag(x)的值域：先求t＝g(x)的值域，再利用f(t)＝at的性质求函数值域即可．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：根式的化简(求值)

1．(2022·全国·高一课时练习)若xy≠0，则等式x

A．x0，y0 B．x

C．x0，y0 D．x

2．(2022·北京丰台·高一期中)下列各式正确的是(????)

A．823＝

C．π-42

3．[多选](2021·浙江·高一期中)下列等式不成立的是(????)

A．nan＝a(n∈N，且

C．-a3＝

必会题型二：分数指数幂的计算

1．[多选](2022·河南·濮阳一高高一期中)已知a+a-1

A．a2+a-2＝14 B．

2．(2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高一期中)计算823

3．(2022·广东·雷州市白沙中学高一阶段练习)求值：12513

4．(2022·湖南·长郡中学高一期中)(1)计算：21

(2)已知a12+

必会题型三：指数函数的图象及应用

1．(2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))已知a＝2．525，b＝7557，c＝

A．abc B．ba

2．(2022·江苏省新海高级中学高一期中)已知函数f(x)＝-x2-2ax

A．[-83，

C．[-83，

3．[多选](2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若4x-4y

A．lgy-x0 B．13y

4．(2022·陕西·周至县