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第14讲复数的运算

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课标解读

掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义

1。熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；

2。掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

3。理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。

知识精讲

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知识点01复数的加法和减法

1.复数的加法法则

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。这就是复数的加法法则。两个复数的和仍是一个复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。

【知识拓展】复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加。

2.复数加法的运算律

对任何z1，z2，z3∈C，有

①交换律：Z1+Z2=Z2+Z1，

②结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

3.复数的减法法则

复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x，y∈R)叫作复数a+bi(a，b∈R)减去复数c+di(c，d∈R)所得的差，记作((a+bi)-(c+di)。

根据复数的加法法则和复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。这就是复数的减法法则。

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)。

【即学即练1】已知复数是纯虚数，则实数（????）

A．0 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】利用纯虚数的定义进行运算即可.

【详解】因为是纯虚数，所以

解得．

故选：D

知识点02复数的乘法运算

1.复数的乘法法则

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i。

两个复数的积仍是一个复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积。

复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算中要把i2换成-1，然后把实部与虚部分别合并。

【知识拓展】

（1）当z∈R时，有|z|2=z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较。例如，当z=1-i时，|z|2=2，z2=-2i，此时2和-2i不能进行比较。

（2）z1z2=0的充要条件是z1=0或z2=0。依据复数的乘法运算可得z1z2=0|z1z2|=0|z1||z2|=0z1=0或z2=0。

2.复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：Z1Z2=Z2Z1，

(2)结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)，

(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。

【即学即练2】已知，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】化简复数方程，根据复数相等的结论列方程求，由此可求.

【详解】由可得，

则，所以，故．

故选：C.

知识点03共轨复数、复数的乘方与除法运算

1.共轭复数的定义：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。复数z=a+bi的共轭复数记作即

2.性质：当复数z=a+bi的虚部b=0时，。也就是说，实数的共轭复数是它本身。

3.复数的乘方：复数的乘方是相同复数的积。根据复数乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。即对任何z，z1，z2∈C及m，n∈

4.复数的除法：复数除法的法则：

两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数。

在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成a+bic+di的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后即得结果。这里分子、分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)

【知识拓展】

1.复数运算中的常用结论：

1±

i

i

2.复数的四则运算

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时把含有虚数单位i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，两个复数相除，类似于根式分母有理化，这里是把分母实数化。

设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

(3)乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；

【即学即练3】定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数