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第10讲余弦定理

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课标解读

借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法；

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

知识精讲

知识精讲

知识点01余弦定理

1．余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2.余弦定理公式表达：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC。

3.余弦定理的推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)。

【即学即练1】在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据A为钝角，，结合余弦定理即可得解．

【详解】若A为钝角，则，即，

所以．

故选：D．

【即学即练2】下列说法中错误的是（????）

A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形

B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形

C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题

D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例

【答案】A

【解析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行判断．

【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错；

正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确；

余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确；

当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确．

故选：A．

知识点02利用余弦定理解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角。

2.已知三角形的三边，求三角形的三个角。

【即学即练3】在中，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【详解】因为，

所以由余弦定理得，

又，则．

故选：B.

【即学即练3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用余弦定理计算可得.

【详解】解：因为，所以．

故选：B

能力拓展

能力拓展

考法01余弦定理的运用

【典例1】已知中，，，点D在AB上，，并且.

（1）求BC的长度；

（2）若点E为AB中点，求CE的长度.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据所给条件,结合三角函数可先求得.再由即可求得,进而得的值.在中由余弦定理即可求得的值.

（2）由（1）可知,而,且E为AB中点,可得,.在可由勾股定理求得,再在由勾股定理求得即可.

【详解】（1）由,,

可知,

又,可得,

所以.

在中,由余弦定理可得,

所以；

（2）由（1）可知,,

又点E为AB中点,可得,,

在直角中,,

在直角中,,

所以.

考法02解三角形

【典例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，．

(1)求的值；

(2)若，求b的值．

【答案】(1)；(2)

【分析】在第1问中，由和对原式化简即可.

在第2问中，由面积公式可求，进而根据条件可求出.

【详解】（1）在中，由三角形的面积公式得，由余弦定理得：．

因为，所以，

整理可得．又，所以，

故，所以．

（2），且，．，，

解得．因为，所以．

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（????）

A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个

【答案】C

【分析】根据余弦定理即可求得.

【详解】有已知及余弦定理可得：故

所以方程无实数根.

故选：C

2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（????）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据余弦定理，将已知量代入即可解得答案.

【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.

故选：D.

3．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知利用余弦定理的推论可得，结合范围，可求角得值.

【详解】解：

由余弦定理的推论，可得，

又

故选：B.

4．已知菱形ABCD的边长为2，，则（????）

A．6 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利