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《直线的交点坐标与距离公式》知识拓展

知识要点

1.两条直线的交点坐标

已知两条直线相交,设这两条直线的交点为,则点既在直线上,也在直线上.所以点的坐标既满足直线的方程,也满足直线的方程,即点的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

2.两点间的距离公式

两点间的距离公式.

特别地,原点与任一点间的距离.

3.点到直线的距离公式

平面上任意一点到直线不同时为0的距离.

4.两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.

一般地,两条平行直线不同时为0,且的距离.

问题探究

问题1如何求两直线的交点坐标?求过两直线交点的直线方程的方法?

提示(1)求两条直线的交点坐标,一般思路是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.

(2)求过两直线交点的直线方程,一般思路是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.

问题2两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应?

提示方程组有唯一解两直线相交;方程组无解两直线平行;方程组有无数组解两直线重合.

这样可以把两直线的位置关系问题转化为方程组解的个数问题,从而用代数的方法解决几何问题.

问题3如果已知直线的斜率为,那么直线上的两点之间的距离可以怎么表示?

提示,

或,这也是以后经常会用到的弦长公式.

问题4利用距离公式应注意的问题有哪些?

提示(1)点到直线的距离,到直线的距离;

(2)已知点到直线的距离求直线方程时,一般考虑用待定系数法,此时必须讨论直线斜率是否存在;

(3)利用两平行线间的距离公式时,两条直线方程中的系数要相等.