《导数的概念及其几何意义》教学设计 (1).docxVIP

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《导数的概念及其几何意义》教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习回顾

一个小球沿斜面自由滚下,其运动方程是的单位:的单位:),则

(1)小球在内的平均速度为多少?

(2)小球在时的瞬时速度又是多少?

教师出示题目,学生动手求出小球的平均速度与瞬时速度.

求小球的平均速度与瞬时速度,为引出导数的概念作准备.

形成概念1

对于函数,设自变量从变化到,相应地,函数值就从变化到.这时,的变化量为的变化量为

我们把比值,即

叫做函数从到的平均变化率.

如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即.

教师给出平均变化率和导数的概念,并给予必要的解释.学生熟悉导数的概念,了解导数的内涵与思想.

教师提示学生注意导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率.如效率、交变电流、比热容等.

通过对平均变化率以及导数概念的理解,提升数学抽象核心素养.

新知探究

探究1观察函数的图象(如图),平均变化率表示什么?

提示:平均变化率表示割线的斜率.

探究2如图是函数的图象,曲线上任意点逐渐接近于点,用信息技术工具演示其动态变化过程,当点与点重合时,该直线的斜率是什么?

提示:该直线的斜率是

学生观察图象,思考问题,举手回答,教师及时给出评价.

教师引导学生通过观察动态变化的过程,得到导数的几何意义,让学生体会“以直代曲”的思想方法.

引导学生体会平均变化率的几何意义,为得到导数的几何意义作准备.

通过观察和讨论得出函数的图象在点处的切线的斜率,发展直观想象核心素养.

形成概念2

1.在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.

2.函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率,即

这就是导数的几何意义.

3.从求函数在处导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的函数,我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即.

教师给出曲线的切线的定义,提出问题:此处切线的定义与初中所学过的圆的切线的定义有什么不同?

学生思考回答.

教师引导学生归纳导数的几何意义,建立数与形联系的纽带.

教师给出导函数的定义,引导学生在理解的基础上进行记忆.

在理解的基础上得出曲线的切线的定义、导数的几何意义以及导函数的定义,发展直观想象和数学抽象核心素养.

应用举例

例1设,求.

解:

.

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.已知在第时,原油的温度(单位:)为.计算第与第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解:在第和第时,原油温度的瞬时变化率就是与.

根据导数的定义,

,

所以.

同理可得.

在第与第时,原油温度的瞬时变化率分别为与.说明在第附近,原油温度大约以的速率下降;在第附近,原油温度大约以的速率上升.

例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设时汽车的速度(单位:)为,求汽车在第与第时的瞬时加速度,并说明它们的意义.

分析:瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此,在第与第时,汽车的瞬时加速度分别为.

解:在第和第时,汽车的瞬时加速度就是和.

根据导数的定义,

所以

同理可得

在第与第时,汽车的瞬时加速度分别是与.说明在第附近,汽车的速度每秒大约增加;在第附近,汽车的速度每秒大约减少.

例4如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.

解:我们用曲线在处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)当时,曲线在处的切线平行于轴,.这时,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)当时,曲线在处的切线的斜率.这时,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.

(3)当时,曲线在处的切线的斜率.这时,在附近曲线下降,即函数在附近也单调递减.

从图可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.

例5如图是人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的函数图象.根据图象,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.

如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作处的切线,并在切线上取两点,如,,则该切线的斜率

所以

下表给出了