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《正态分布》教学设计

一、情境引入

现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.下面我们看一个具体问题.

问题在某城市一个有红绿灯的路口,红灯持续40s,绿灯持续60s,交替循环.小明骑自行车来到这个路口,求他遇到绿灯的概率.

师生活动:

教师提出问题:由直观容易得出“遇到绿灯”的概率为0.6,但如何用概率模型来描述这个问题呢?

学生思考、讨论、交流.

在学生讨论的同时,教师可以适当引导:由于来到路口的时刻具有随机性,这个时刻位于红绿灯一个循环周期内,如图所示.

设点的坐标为0,点的坐标为40,点的坐标为100,用分别表示红灯和绿灯持续的时间,小明来到路口的时刻落在线段上.当且仅当落在线段上时,事件“遇到绿灯”发生.因此“遇到绿灯”的概率可用线段的长度与线段的长度之比来刻画.

师:这节课我们就来一起学习正态分布.

设计意图:通过具体的问题情境,引发学生积极思考并参与互动.在教学中,教师可以先对问题进行分析,提供解决问题的思路,帮助学生建立对连续型随机变量的直观认识,为理解正态分布作铺垫.

二、新知探究

探究1自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:)的观测值如下:

(1)如何描述这100个样本误差数据的分布?

(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?

教师提出问题:根据我们已学的统计知识,你能用频率分布直方图描述这组误差数据的分布吗?引导学生动手画频率分布直方图.

如图,可以用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.

学生画出频率分布直方图后,教师引导学生观察分析.

观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.

随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如下图所示.

在教学中,教师可以利用信息技术工具产生服从正态分布的随机数,对不同样本量的数据,画频率分布直方图并观察图形的变化,由频率分布直方图过渡到正态密度曲线.

根据频率与概率的关系,可用上图中的钟形曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.

设计意图:引导学生思考,使学生领悟描述连续型随机变量概率分布的思想方法.

问题由函数知识可知,上图中的钟形曲线是一个函数.那么,这个函数是否存在解析式呢?

师生活动:教师介绍得到正态密度函数的过程.

早在1734年,法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时,已提出了正态密度函数的形式,但当时只是作为一个数学表达式.直到德国数学家高斯提出“正态误差”的理论后,正态密度函数才取得“概率分布”的身份.因此,人们也称正态分布为高斯分布.

教师指出刻画随机误差分布的解析式:

.其中为参数.

显然,对任意的,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如下图所示.若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为.特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布.

教师指出:若,则如上图所示,取值不超过的概率为图中区域的面积,而为区域的面积.

正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误差,某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等,一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量,自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容),某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等,一般都近似服从正态分布.

探究2观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点?

师生活动:

教师提出问题,让学生思考.学生观察正态曲线及相应的正态密度函数,说出自己的发现,教师评价完善.

师生共同归纳总结:

由的密度函数及图象可以发现,正态曲线有以下特点:

(1)曲线是单峰的,它关于直线对称;

(2)曲线在处达到峰值;

(3)当无限增大时,曲线无限接近轴.

设计