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《离散型随机变量及其分布列》教学设计

一、复习引入

教师提出问题:你还记得我们以前学习过的随机试验与函数吗?

给学生留几分钟思考时间,然后指名学生回答.

(1)随机试验:对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验.

一般地,一个试验如果满足下列条件:

①试验可以在相同的条件下重复进行;

②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.

这种试验就是一个随机试验.

(2)函数:一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:为从集合到集合的一个函数,记作,.

学生回答完后,教师提问:随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢?

师:求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.

设计意图:通过让学生回忆随机试验和函数的相关知识,为引入随机变量作准备.

二、探究新知

1.有些随机试验的样本点与数值有关系,我们可以直接与实数建立对应关系.例如,掷一枚骰子,用实数表示“掷出的点数为”;又如,掷两枚骰子,样本空间为,用表示“两枚骰子的点数之和”,样本点就与实数对应.

2.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系,我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如,随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果,它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.

类似地,掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示;随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值;等等.

教师总结:对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量的取值也具有随机性.

设计意图:通过上述实例,让学生了解随机试验的样本点不论是否与数值直接有关,都可以数量化.

3.考察下列随机试验及其引入的变量:

试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量表示三个元件中的次品数.

试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量表示需要的抛掷次数.

师:这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量有哪些共同的特征?

设计意图:通过两个试验,提出问题,引发学生思考,为抽象概念作进一步准备.

师生活动:教师展示两个试验,提出问题,让学生思考、讨论、交流,然后找代表发言.教师进行适时点评与指导.

对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间,.各样本点与变量的值的对应关系如图所示.

对于试验2,如果用表示“正面朝上”,表示“反面朝上”,例如用表示第3次才出现“正面朝上”,则样本空间包含无穷多个样本点.各样本点与变量的值的对应关系如图所示.

设计意图:通过画图展示各样本点与变量的值的对应关系,让学生更直观形象地建立样本点与实数的对应关系.

追问:在上面两个随机试验中,变量有哪些共同点?

(1)取值依赖于样本点;

(2)所有可能取值是明确的.

在此基础上,教师和学生一起得出随机变量与离散型随机变量的定义.

随机变量的定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量.

离散型随机变量的定义:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如.

设计意图:让学生亲身经历由特殊到一般,获得随机变量与离散型随机变量定义的过程,发展学生的直观想象与数学抽象核心素养.

4.随机变量与函数的关系

(1)联系:样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域.

(2)区别:样本空间不一定是数集.

设计意图:通过辨析随机变量与函数的关系,深化对随机变量的理解.

师:现实生活中,离散型随机变量的例子有很多.例如,某射击运动员射击一次可能命中的环数,它的可能取值为;某网页在内被浏览的次数,它