专题23.4相似三角形的性质【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（华东师.docx

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专题23.4??相似三角形的性质【十大题型】

【华东师大版】

【题型1??利用相似三角形的性质求解】

【题型2??运用相似三角形解决折叠问题】

【题型3??运用相似三角形解决三角板问题】

【题型4??运用相似三角形解决裁剪问题】

【题型5??运用相似三角形解决格点问题】

【题型6??运用相似三角形探究线段之间的关系】

【题型7???运用相似三角形解决尺规作图问题】

【题型8??运用相似三角形解决动点问题】

【题型9??运用相似三角形解决最值问题】

【题型10运用相似三角形解决多结论问题】

知识点1：相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等．如图，△A

∠A=∠

②相似三角形的对应边成比例．如图，△A

ABA′

③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图，△ABC∽△A′B′C′，AM、AH和AD是

A

④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC

AB

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．

如图，△ABC

S

【题型1??利用相似三角形的性质求解】

【例1】

（23-24九年级·四川成都·期末）

1．若△ABC∽△A1B1C1

A．83 B．6 C．9

【变式1-1】

（23-24九年级·江苏连云港·期末）

2．已知△ABC∽△DEF,△A

【变式1-2】

（23-24九年级·山东威海·期末）

3．如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，

A．45° B．55° C．65°

【变式1-3】

（23-24九年级·陕西西安·期末）

4．已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为

【题型2??运用相似三角形解决折叠问题】

【例2】

（23-24九年级·安徽六安·期中）

5．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△AB

??

A．132 B．15625 C．254

【变式2-1】

（23-24九年级·湖北十堰·期中）

6．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，将矩形ABCD

【变式2-2】

（2024·江苏南京·模拟预测）

7．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD

【变式2-3】

（23-24九年级·江苏淮安·期中）

8．在矩形ABCD中，AB=4，AD=

??????????????图1??????????????????????????????????图2

(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求

(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F

【题型3??运用相似三角形解决三角板问题】

【例3】

（2024·浙江台州·模拟预测）

9．将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠A

A．66?63 B．18?6

【变式3-1】

（23-24九年级·内蒙古包头·期末）

10．如图，将一副三角板按图叠放，则AOOC

【变式3-2】

（23-24九年级·山东济南·期中）

11．【问题背景】

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

【用数学的眼光观察】

（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、

①△BPE≌△CF

【用数学的思维思考】

（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△B

【用数学的语言表达】

（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△B

??

【变式3-3】

（23-24九年级·山东济南·期中）

12．如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=D

(1)如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BP

(2)当三角板DEF转到如图2的位置时，

(3)在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为154

【题型4??运用相似三角形解决裁剪问题】

【例4】

（2024·山东菏泽·一模）

13．包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：

方法一：

方法二：

??

??

(1)一本字典长为acm，宽为bcm，高为ccm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b

(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm

(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并