第05讲 第四章 三角函数 新定义题（解析版）-备战2025年高考数学一轮复习高频题型（新教材新高考）.docx

第05讲第四章三角函数新定义题

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三角函数新定义题（解答题） 4

三角函数新定义题（小题）

1．（23-24高二下·上海·期末）数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，任取一个数字，经过运算，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解.

【详解】根据题意，任取一个数字，经过一步之后为，经过第二步之后为，

再变为，再变为，，所以，

所以.

故选：D.

2．（23-24高一下·重庆·期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.

【详解】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，

则，解得，

由题意可得，解得，

因此该扇形圆心角用密位制表示为．

故选：B.

3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果.

【详解】将代入，

可得

.

故选：C.

4．（多选）（2024·安徽安庆·模拟预测）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家?天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（????）

A．的定义域为；

B．的最小正周期为；

C．的值域为；

D．图象的对称轴为直线.

【答案】BC

【分析】由辅助角公式化一，再根据，即可求出函数的定义域，即可判断A；根据正弦函数的周期性即可判断B；根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C；根据正弦函数的对称性即可判断D.

【详解】，

由，得，

即的定义域为，故A错误；

的定义域关于原点对称，

故的最小正周期与函数的最小正周期一致，均为，故B正确；

当时，的值分别为，

而函数的值域为，

再结合周期性可知，的值域为，故C正确；

令，得，

即图象的对称轴为直线，故D错误.

故选：BC.

5．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则．

【答案】

【分析】先得到，故利用辅助角公式化简得到.

【详解】，，故，

故

.

故答案为：

6．（2024高三·全国·专题练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到．

??

【答案】

【分析】运用余弦定理可求得，再利用诱导公式可求得答案．

【详解】在中，由余弦定理得

，

所以.

故答案为：.

三角函数新定义题（解答题）

1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向?为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．

(1)设函数，试求的互生向量；

(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；

(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解.

（2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解.

（3）分离参数得，将函数在上有四个零点转化成

则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解.

【详解】（1）因为，所以的互生向量.

（2