2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：22　第五章　5.2　5.2.2　导数的四则运算法则.docxVIP

PAGE13/NUMPAGES13

5.2.2导数的四则运算法则

[学习目标]1．能利用导数的运算法则求函数的导数．(数学运算)

2．掌握导数的四则运算法则及应用．(逻辑推理、数学运算)

(教师用书)

同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减形式的组合，组合后的函数，又如何求导，这将是我们本节课要学习的内容．

[讨论交流]

问题1．导数的四则运算法则是什么？

问题2．在导数的四则运算法则中，若g(x)＝c(c为常数)时，[f(x)±c]′等于什么？cfx

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1f(x)±g(x)的导数

探究问题1设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？

[提示]设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x，Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，ΔyΔx＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝limΔx→0Δy

而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1，

所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．

设y＝f(x)－g(x)＝x3－x，

Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，ΔyΔx＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，y′＝limΔx→0ΔyΔx＝3x2－1，而f′(x)＝3x

所以[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．

[新知生成]

两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

【教用·微提醒】推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．

【链接·教材例题】

例3求下列函数的导数：

(1)y＝x3－x＋3；

(2)y＝2x＋cosx.

[解](1)y′＝(x3－x＋3)′

＝(x3)′－(x)′＋(3)′

＝3x2－1；

(2)y′＝(2x＋cosx)′

＝(2x)′＋(cosx)′

＝2xln2－sinx．

[典例讲评]1．求下列函数的导数：

(1)y＝x4－x2＋cosx；

(2)y＝log3x－ex.

[解](1)y′＝(x4)′－(x2)′＋(cosx)′＝4x3－2x－sinx.

(2)y′＝(log3x)′－(ex)′＝1xln3－

两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．

[学以致用]1．求下列函数的导数：

(1)y＝3x＋x；

(2)y＝lgx＋x-2－3.

[解](1)y′＝(3x)′＋(x)′＝3xln3＋12

(2)y′＝(lgx)′＋(x-2)′－(3)′＝1xln10－2

探究2f(x)g(x)和fxg

探究问题2设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？[提示]因为[f(x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，

f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，

fxgx＝3

所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，

fxgx

[新知生成]

1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．

2．fxgx=fxg

【教用·微提醒】积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”．

【链接·教材例题】

例4求下列函数的导数：

(1)y＝x3ex；

(2)y＝2sin

[解](1)y′＝(x3ex)′

＝(x3)′ex＋x3(ex)′

＝3x2ex＋x3ex.

(2)y′＝2sin

＝2

＝2

＝2xcos

[典例讲评]2．(源自北师大版教材)求下列函数的导数：

(1)y＝x2

(2)y＝x2(lnx＋sinx)．

[思路导引]根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解．

[解](1)函数y＝x2lnx是函数f(x)＝x2与g(x)＝lnx的商，根据导数公式表分别得出f′(x)＝2x，g′(x)

根据求导的除法法则，可得

x2lnx′＝2x

(2)函数y＝x2(lnx＋sinx)是函数f(x)＝x2与g(x)＝lnx＋sinx的积．

根据导数公式表及求导的加法法则分别得出f′(x)