2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：13　第四章　微专题2　数列求和.docxVIP

PAGE5/NUMPAGES9

微专题2数列求和

等差、等比数列可直接应用求和公式求和，非等差、等比数列求和有以下几种常用方法．

1．倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．

2．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．

3．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

4．分组求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

5．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

类型1分组求和

【例1】(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝an-6，n为奇数，2an，n为偶数，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn.

[解](1)设等差数列{an}的公差为d.

因为bn＝a

所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.

因为S4＝32，T3＝16，所以

4a

整理得2

解得a

所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.

(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，

所以Sn＝n5+2n+32＝n

bn＝2

当n为奇数时，

Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝n+12-1+2

当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+5n-102－(n2＋4n)＝

所以Tn＞Sn.

当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2-1+2n

当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+7n2－(n2＋4n)＝n2-n2＝n

综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn.

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中{b

[学以致用]1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝A2n＋Bn－1，前n项和为Sn，则()

A．当A＝0，B＝2时，Sn＝n2

B．当A＝1，B＝0时，Sn＝2n+1－n－2

C．当A＝12，B＝－1时，?n∈N*，an＋1＞S

D．当A＝1，B＝1时，?n∈N*，使得Sn＝2an

ABD[当A＝0，B＝2时，an＝2n－1，所以Sn＝1+2n-1n2＝n

当A＝1，B＝0时，an＝2n－1，所以Sn＝2-2n×21-2－n＝2n+1－n－

当A＝12，B＝－1时，an＝2n-1－n－1，所以an＋1＝2n－n－

Sn＝1-2n1-2-n2+n+1

an＋1－Sn＝－n＋nn+32－1

当n＝1时，an＋1＝Sn，当n≥2时，an＋1＞Sn，故C错误；

当A＝1，B＝1时，an＝2n＋n－1，所以Sn＝2-2n+11-2+nn-1

当Sn＝2an时，解得n＝5，所以?n∈N*，使得Sn＝2an成立，故D正确．

故选ABD.]

类型2倒序相加法求和

【例2】已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f1n＋f2n＋…＋fn-1n＋f(1)，求数列{

[解]∵f(x)＋f(1－x)＝1，

∴f1n＋fn-1

∵an＝f(0)＋f1n＋f2n＋…＋fn-1n＋f(

∴an＝f(1)＋fn-1n＋fn-2n＋…＋f1n＋f

①＋②得2an＝n＋1，

∴an＝n+12，故数列{an}的通项公式为an＝

倒序相加法求和适合的题型

一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．

[学以致用]2.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于