2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：04　第四章　4.2　4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用.docxVIP

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第2课时等差数列的性质及应用

[学习目标]1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)

2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算)

(教师用书)

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)

[讨论交流]

问题1．等差数列的子数列是如何定义的？

问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？

问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？

问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1等差数列的性质

探究问题已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？

[提示]由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d，

即an＝am＋(n－m)d.

[新知生成]

等差数列的性质

(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．

①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．

(3)若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；

②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；

③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．

(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．

【教用·微提醒】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.

(2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同．

【链接·教材例题】

例5已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证ap＋aq＝as＋at.

分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证．

[证明]设数列{an}的公差为d，则

ap＝a1＋(p－1)d，

aq＝a1＋(q－1)d，

as＝a1＋(s－1)d，

at＝a1＋(t－1)d.

所以

ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，

as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.

因为p＋q＝s＋t，所以

ap＋aq＝as＋at.

[典例讲评]1.(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值．

(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．

(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．

[解](1)法一：设{an}的公差为d，

则a1+4d=10

故a25＝a1＋24d＝4＋24×32＝

法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40.

法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.

(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28.

(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.

[母题探究]本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值．

[解]法一：设等差数列{an}的公差为d，

则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，

所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(