2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：15　第四章　4.4　数学归纳法.docxVIP

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4.4*数学归纳法

[学习目标]1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象)

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)

3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理)

(教师用书)

中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？

为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然要求第1个人必须姓王了．

思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？

[讨论交流]

问题1．数学归纳法的原理是什么？

问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1数学归纳法的理解

探究问题1如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？

[提示]不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．

探究问题2在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？

[提示]需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．

[新知生成]

1．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．

2．数学归纳法的证明形式

记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．

结论：P(n)为真．

3．数学归纳法的框图表示

【教用·微提醒】初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定．

[学以致用]1.(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取()

A．2B．3C．4D．5

(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：

①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，

即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，

则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝1-2k+11-2＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n

上述证明，错误的是________(填序号)．

(1)D(2)②[(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误；

当n＝3时，23＜32，B错误；

当n＝4时，24＝42，C错误；

当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确．

(2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]

探究2用数学归纳法证明等式

【链接·教材例题】

例2用数学归纳法证明：

12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．

分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．

[证明](1)当n＝1时，①式的左边＝12＝1，

右边＝16×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝1×2×36＝

所以①式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即

12＋22＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)

在上式两边同时加上(k＋1)2，有

12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2

＝16k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)

＝k

＝k

＝k

＝16(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]

即当n＝k＋1时，①式也成立．

由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立．

[典例讲评]1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明：

12＋22＋32＋…＋n2＝nn+12n+16(

[证明](1)当n＝1时，左边＝12＝1，右