2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：02　第四章　4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和.docxVIP

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第2课时数列的递推公式及前n项和

[学习目标]1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)

2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)

3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算)

(教师用书)

观察某次智力测试中的一道题：数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：

a2－a1＝3－1＝2，

a3－a2＝6－3＝3，

a4－a3＝10－6＝4，

a5－a4＝15－10＝5，

….

(1)你能写出该数列的第8个数吗？

(2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？

[讨论交流]

问题1．递推公式的含义是什么？

问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1数列的递推公式

探究问题1观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型．

自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10.若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？

[提示]有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．

[新知生成]

递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．

【教用·微提醒】(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．

(2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列．

【链接·教材例题】

例4图4.1－3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．

[解]在图4.1－3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为

1，3，9，27，

即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.

因此，这个数列的一个通项公式是

an＝3n-1.

【链接·教材例题】

例5已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋1an-1(n≥2)，写出这个数列的前

[解]由题意可知

a1＝1，

a2＝1＋1a1＝

a3＝1＋1a

a4＝1＋1a

a5＝1＋1a

[典例讲评]1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1-an，n∈N

[解]a2＝1+a11-a

a3＝1+a

a4＝1+a

a5＝1+a41-

a6＝1+a51-

【教用·备选题】设数列{an}满足a1＝2，an+1＝22-an(n＝1，

[解]由题意，a1＝2，

根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性．

[学以致用]1．(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．

(1)1，2，4，7，11，…；

(2)－1，2，5，8，11，…；

(3)1，－2，4，－8，16，….

[解](1)因为a2－a1＝2－1＝1，

a3－a2＝4－2＝2，

a4－a3＝7－4＝3，

a5－a4＝11－7＝4，

所以an＋1－an＝n，

即an＋1＝an＋n.

从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22.

(2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3，

所以an＋1－an＝3，

即an＋1＝an＋3.

从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17.

(3)因为a2a1＝

所以an+1an

即an＋1＝－2an.

从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64.

探究2an与Sn的关系

探究问题2如果已知数列{an}的前n项和，如何求a6呢？

[提示]用{an}的前6项和减去前5项和．

[新知生成]

1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．

2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．

3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝S

【教用·微提醒】由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情