2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：18　第五章　5.1　5.1.1　变化率问题.docxVIP

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5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题

[学习目标]1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算)

3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)

(教师用书)

1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝-4.9t2＋6.5t＋10.

2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？

[讨论交流]

问题1．平均速度的定义是什么？

问题2．瞬时速度的定义是什么？

[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1平均速度

探究问题1某公路上存在一段长为2km的测速路段，假定测速超过100km/h即为超速，某汽车用时1.5min，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？

[提示]记测速为v，则v＝2km1.5min＝2km140

[新知生成]

1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度v＝st

2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢．

[典例讲评]1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求：

(1)该质点在前3s内运动的平均速度；

(2)该质点在2s到3s这段时间内运动的平均速度．

[解](1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24，

所以平均速度为v＝ΔsΔt＝24

(2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12，

所以平均速度为v＝ΔsΔt＝12

求物体运动的平均速度的步骤

(1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)；

(2)再计算时间的改变量t2－t1；

(3)得平均速度v＝st

[学以致用]1.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt＞0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．

[解]质点在[2，2＋Δt]上的平均速度为

v＝2+Δt2+1-22+1

又v≤5，即4＋Δt≤5，所以Δt≤1.

又Δt＞0，所以Δt的取值范围为(0，1].

探究2瞬时速度

探究问题2区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识v＝st

[提示]用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度．

[新知生成]

1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度v就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．

3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝limΔ

【教用·微提醒】(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零．

(2)当Δt→0，比值st0+Δt-s

(3)“lim”意为极限，limΔt→0st0+Δt-st0Δ

[典例讲评]2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．

[思路导引]计算物体在[1，1＋Δt](Δt0)或[1＋Δt，1](Δt0)内的平均速度s1+Δt-s1Δt

[解]∵ΔsΔt＝s1+Δt-s1

∴limΔt→0Δs

∴物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.

[母题探究]

1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．

[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．

∵ΔsΔt＝s0+Δt-s0

∴limΔt→0

即物体的初速度为1m/s.

2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.

[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.

又ΔsΔt＝st0+Δt-st

limΔt→0ΔsΔt＝limΔ

则2t0＋1＝9，

∴t0＝4，

则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.

求物体运动瞬时速度的主要步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(2)求平均速度v＝Δs

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v

[学以致用]2．火箭发射ts后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________s时火箭的瞬时