2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：26　第五章　微专题4　导数中的函数构造问题.docxVIP

PAGE3/NUMPAGES7

微专题4导数中的函数构造问题

在考试中经常见到一类试题，不给出解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，需应用单调性解决问题的这类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法．

类型1利用f(x)与x构造

【例1】已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，不等式xf′(x)＋f(x)0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log319·flog319，则a，b，

cba[令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由条件知，x0时，g′(x)0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减．又log319logπ330.3，所以cba

f(x)与x构造常见的形式

(1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)；

(2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝fx

(3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)；

(4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝fx

[学以致用]1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正实数a，b，若a＜b，则必有()

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)

C．af(a)≤bf(b) D．bf(b)≤af(a)

A[设F(x)＝fxx(x＞

则F′(x)＝fxx′＝

∵x＞0，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，故F(x)在(0，＋∞)上单调递减或为常数函数，又0＜a＜b，∴F(a)≥F(b)，即faa≥fbb，∴bf(a)≥a

类型2利用f(x)与ex构造函数

【例2】已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f′(x)＋f(x)0.则对任意正数a必有()

A．f(a)eaf(0) B．f(a)eaf(0)

C．f(a)f0ea D．f(

D[构造函数F(x)＝exf(x)，则F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]0，故F(x)在R上单调递增，又a0，所以F(a)F(0)，即eaf(a)e0f(0)，所以f(a)f0ea

f(x)与ex构造常见的形式

(1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)；

(2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝fx

(3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enx·f(x)；

(4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝fx

[学以致用]2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)＞0，则不等式e4·f(3x－4)＞e2xf(x)的解集为()

A．(2，＋∞) B．(e，＋∞)

C．(－∞，e) D．(－∞，2)

A[令g(x)＝fxex，则g′(x)＝fx-fxex＞

由e4f(3x－4)＞e2xf(x)，得f3x-4e3x-4

即g(3x－4)＞g(x)，

又g(x)在R上单调递增，所以3x－4＞x，

解得x＞2，

即不等式e4f(3x－4)＞e2xf(x)的解集为(2，＋∞)．故选A.]

类型3利用f(x)与sinx，cosx构造

【例3】(多选)函数f(x)的定义域为0，π2，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜－tanx·f(x)恒成立，则

A．fπ6＞2fπ4 B．3fπ6

C．fπ6＞3fπ3 D．2fπ6＞

CD[依题意0＜x＜π2，由f′(x)＜－tanx·f(x)，得f′(x)＜－sinxcosx·f(x)，即sinx·f(x)＋cosx·f′(

构造函数F(x)＝fxcosx0＜x＜π2，则F

所以F(x)在0，

所以Fπ6＞Fπ4＞F

即fπ6cosπ6

即fπ63＞fπ

所以fπ6＞3fπ

2fπ6＞3fπ

故选CD.]

f(x)与sinx，cosx构造常见的形式

(1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，构造函数h(x)＝f(x)sinx；

(2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，构造函数h(x)＝fx

(3)对于f′(x)cosx－f(x)sinx＞0，构造函数h(x)＝f(x)cosx；

(4)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0，构造函数h(x)