山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题（解析）.docx

2024~2025学年高三8月开学质量检测卷

数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，若复数与在复平面内对应的点关于原点对称，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的除法运算得，再由对应点的对称性可得.

【详解】，

由复数与在复平面内对应的点关于原点对称，

则，

故选：A.

2.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】由题设有，，

故，，，故D成立，

故选：D.

3.已知向量，，若与方向相同，则（）

A.0 B.1 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由向量共线的坐标条件求解，再验证方向即可.

【详解】向量，，

由与方向相同，则两向量共线，

故，解得，

当时，，，此时两向量方向相同；

当时，，，此时两向量方向相反.

故.

故选：C.

4.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二倍角余弦公式及诱导公式可求的值.

【详解】,

故选：B.

5.已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出渐近线方程，再根据垂径定理可求圆心到渐近线的距离，故可求，从而可求离心率.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

因为，故圆心2,0到的距离为，

故，故，

故离心率为，

故选：D.

6.已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（）

A.－4 B.－2 C.4 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出，再根据正弦函数的性质求出函数的最值，从而可求的最大值.

【详解】因为相邻对称轴之间的距离为，故函数的最小正周期为，

故，故，

当时，，故，

因为存在，，使得成立，

所以即，故的最大值为4，

故选：C

7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（）

A.32个 B.28个 C.27个 D.24个

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得.

【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：

①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种，

④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种，

⑦“222”组合，有1种.

由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个.

故选：B

8.已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求导得极值点满足的等量关系，回代入式子化简减元，将恒成立问题转化为一元函数值域问题求解可得.

【详解】，，则，

令得，，

由题意知是方程的两正根，

则，解得，且.

由

，

令，则，

由，故在1,+∞单调递减，故，

要使恒成立，即恒成立，

则，则实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：多变量不等式的恒成立问题，处理关键是代数变形与消元处理.通过代换将所证的双变量不等式转化或直接消元转化为单变量的函数不等式，如：(含对数式时常用)或（含指数式时常用)或，等等，然后再通过构造函数求导分析，利用函数单调性进行后续研究.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.的图象恒过某个定点

B.在上单调递减，在上单调递增

C.图象上存在两个不同的点关于轴对称

D.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据可判断A的正误，就的不同取值分类讨论后可判断函数的单调性，故可判断B的正误，考虑是否有解后可判断C的正误，而任意，恒成立等价任意