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3.3.1抛物线的标准方程
课程标准
学习目标
(1)能从几何情境中认识抛物线的几何特征,给出抛物线的定义.
(2)能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,运用坐标法推导出抛物线的标准方程,并能用它解决简单的问题,进步体会曲线方程的建立方法.
(1)理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
(2)掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.
(3)了解抛物线定义的实际应用.
知识点01抛物线的定义
定义:平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
知识点诠释:
(1)上述定义可归纳为“一动三定”,一个动点,一定直线;一个定值
(2)定义中的隐含条件:焦点不在准线上,若在上,抛物线变为过且垂直与的一条直线.
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题时常与抛物线的定义联系起来,将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化,通过这种转化使问题简单化.
【即学即练1】(2023·高二课时练习)若动点到点的距离和它到直线的距离相等,则动点的轨迹是(????)
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线
知识点02抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图,以过F且垂直于的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系.
设(),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为.
设点是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是集合
,
将上式两边平方并化简,得.①
方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是它的准线方程是.
抛物线标准方程的四种形式:
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
,,,.
知识点诠释:
①只有当抛物线的顶点是原点,对称轴是坐标轴时,才能得到抛物线的标准方程;
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上,且开口方向与一次项的系数的正负一致,比如抛物线的一次项为,故其焦点在轴上,且开口向负方向(向下)
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍,比如抛物线的一次项的系数为,故其焦点坐标是.
一般情况归纳:
方程
图象的开口方向
焦点
准线
时开口向右
时开口向左
时开口向上
时开口向下
④从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数.用待定系数法求抛物线的标准方程时,首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型),然后求一次项的系数,否则,应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时,由于标准方程有四种形式,易混淆,可先根据题目的条件作出草图,确定方程的形式,再求参数,若不能确定是哪一种形式的标准方程,应写出四种形式的标准方程来,不要遗漏某一种情况.
【即学即练2】(2023·全国·高二随堂练习)求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点为;
(2)准线方程为:;
(3)焦点到准线的距离为6.
题型一:抛物线的定义
例1.(2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习)抛物线的焦点到准线的距离是(????).
A. B. C.2 D.4
例2.(2023·江苏·高二假期作业)若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为()
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
例3.(2023·全国·高二专题练习)已知抛物线上一点P到y轴的距离为2,焦点为F,则(????)
A.2 B.3 C. D.
变式1.(2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试)若动点满足,则点M的轨迹是(????)
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
题型二:抛物线的标准方程
例4.(2023·全国·高二期中)求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)顶点在原点,准线方程为;
(2)顶点在原点,且过点;
(3)顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线上;
(4)焦点在x轴上,且抛物线上一点到焦点的距离为5.
例5.(2023·全国·高二课堂例题)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点.求该抛物线的标准方程.
例6.(2023·全国·高二课堂例题)求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点为;
(2)准线方程为.
变式2.(2023·高二课前预习)已知抛物线对称轴为坐标轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求抛物线的标准方程.
变式3.(2023·高二课前预习)一种卫星接收天线如图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如图,已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
??
题型三:轨迹方程—抛物线
例7.(2023·全国·高二专题练习)设圆与y轴交于A
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