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弹性力学基础：边界条件：弹性力学边界条件的数值解法

1弹性力学基础概念

1.1弹性体的定义

在弹性力学中，弹性体指的是在受到外力作用时能够发生变形，但当外力

去除后能够恢复到原始形状的物体。这种物体的变形遵循一定的物理规律，其

中最重要的是胡克定律，它描述了应力与应变之间的线性关系。弹性体可以是

固体、液体或气体，但在工程应用中，我们主要关注的是固体材料的弹性行为。

1.2应力与应变的关系

1.2.1应力

应力（Stress）是单位面积上的内力，它描述了材料内部各部分之间相互作

用的强度。应力可以分为正应力（NormalStress）和切应力（ShearStress）。正

应力是垂直于材料表面的应力，而切应力则是平行于材料表面的应力。

1.2.2应变

应变（Strain）是材料在应力作用下发生的变形程度，通常表示为原始尺寸

的百分比变化。应变也可以分为正应变（NormalStrain）和切应变（Shear

Strain）。正应变描述了材料在正应力作用下的伸长或缩短，而切应变描述了材

料在切应力作用下的剪切变形。

1.2.3应力-应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律描述。

对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力，是应变，是材料的弹性模量，它是一个常数，反映了

材料抵抗弹性变形的能力。

1.2.4示例代码：计算应力与应变

假设我们有一个材料样本，其弹性模量=200GPa，在受到100MPa的正

应力作用下，计算其正应变。

#定义材料的弹性模量

E=200e9#单位：Pa

1

#定义应力

sigma=100e6#单位：Pa

#根据胡克定律计算应变

epsilon=sigma/E

#输出应变结果

print(f在{sigma/1e6:.2f}MPa的应力作用下，材料的应变为{epsilon*100:.2f}%)

运行上述代码，我们得到：

在100.00MPa的应力作用下，材料的应变为0.05%

这表明在100MPa的应力作用下，材料的正应变是0.05%。 

1.3胡克定律详解

胡克定律是弹性力学中的基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与应变

之间的关系。胡克定律不仅适用于一维情况，也适用于多维情况，包括平面应

力和平面应变问题。在三维情况下，胡克定律可以表示为一组方程，涉及到材

料的弹性模量、泊松比等参数。

1.3.1胡克定律的数学表达

对于各向同性材料，胡克定律的三维形式可以表示为：

=++

=++

=++

=

=

=

其中，,,是三个主应力，,,是三个主应变，,,是切应

,

力，是切应变，是弹性模量，是泊松比，是剪切模量。