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弹性力学基础：边界条件：三维弹性问题的边界条件

1维弹性问题概述

1.1弹性力学的基本假设

在探讨三维弹性问题之前，我们首先需要理解弹性力学的基本假设，这些

假设是构建弹性理论的基石。弹性力学主要研究物体在外力作用下发生的变形

以及恢复原状的能力。以下是几个关键假设：

1.连续性假设：物体被视为连续介质，即物体内部的物理量（如应

力、应变）可以连续变化，不存在突变。

2.完全弹性假设：物体在外力作用下发生变形，当外力去除后，物

体能够完全恢复到原来的形状和尺寸。

3.小变形假设：物体的变形相对于其原始尺寸来说是微小的，这样

可以简化数学模型，忽略高阶小量的影响。

4.各向同性假设：物体的物理性质在所有方向上都是相同的，这意

味着应力-应变关系不会随方向改变。

5.均匀性假设：物体的物理性质在空间上是均匀的，即在物体内部

任何位置，材料的性质（如弹性模量）都是相同的。

6.线性关系假设：应力与应变之间存在线性关系，即遵循胡克定律。

这些假设使得我们能够使用数学工具来描述和分析物体的弹性行为，特别

是在复杂的三维问题中。

1.2维弹性方程的建立

三维弹性问题的分析通常涉及到三个独立的坐标方向（x,y,z），在这些方

向上，物体可能受到各种力的作用，产生相应的变形。三维弹性方程的建立基

于上述假设，主要由平衡方程、几何方程和物理方程三部分组成。

1.2.1平衡方程

平衡方程描述了物体内部应力的分布必须满足静力平衡条件。在三维空间

中，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，,,分别是x、y、z方向的正应力，,,是剪应力，

1

,,是单位体积的外力在x、y、z方向的分量。

1.2.2几何方程

几何方程将应变与位移联系起来，描述了物体变形的几何特性。在三维情

况下，几何方程可以表示为：

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂