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弹性力学基础：边界条件：弹性力学在工程实践中的边界

条件应用

1弹性力学基础概念

1.1弹性体与弹性常数

1.1.1弹性体定义

弹性体是指在受到外力作用时，能够产生变形并在外力去除后恢复原状的

物体。在工程实践中，许多材料如金属、橡胶、塑料等，在一定条件下可视为

弹性体，其变形与外力之间遵循特定的物理规律。

1.1.2弹性常数

弹性常数是描述材料弹性性质的物理量，主要包括杨氏模量（Young’s

modulus）、泊松比（Poisson’sratio）和剪切模量（Shearmodulus）等。这些

常数在弹性力学中起着关键作用，用于计算应力与应变之间的关系。

杨氏模量（E）:表示材料在拉伸或压缩时抵抗变形的能力，单位

为帕斯卡（Pa）。

泊松比（ν）:描述材料在横向和纵向变形之间的关系，是一个无

量纲的比值。

剪切模量（G）:反映材料抵抗剪切变形的能力，单位同样为帕斯

卡（Pa）。

1.2应力与应变关系

1.2.1应力定义

应力是单位面积上的内力，是材料内部对施加外力的响应。在弹性力学中，

应力通常分为正应力（σ）和剪应力（τ）。

正应力（σ）:与材料截面垂直的应力，可以是拉应力或压应力。

剪应力（τ）:与材料截面平行的应力，导致材料发生剪切变形。

1.2.2应变定义

应变是材料变形的程度，是变形量与原始尺寸的比值。应变分为线应变

（ε）和剪应变（γ）。

线应变（ε）:表示材料在拉伸或压缩方向上的长度变化与原始长

1

度的比值。

剪应变（γ）:表示材料在剪切方向上的变形程度。

1.2.3应力应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，这一关系由胡克定律描述。

1.3胡克定律解析

1.3.1胡克定律表述

胡克定律（Hooke’sLaw）是弹性力学中的基本定律，它指出，在弹性范

围内，应力与应变成正比，比例常数为材料的弹性模量。

对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=⋅

其中，是正应力，是杨氏模量，是线应变。

1.3.2胡克定律在多维情况下的扩展

在三维情况下，胡克定律可以扩展为更复杂的应力应变关系，涉及到弹性

常数矩阵。对于各向同性材料，这一关系可以简化为：

=⋅

其中，和分别是应力张量和应变张量的分量，是弹性常数矩阵

的分量。

1.3.3胡克定律的应用示例

假设有一根直径为10mm的钢棒，长度为1m，受到1000N的拉力。已知

钢的杨氏模量为200×109Pa，计算钢棒的伸长量。

1.3.3.1数据样例

直径（D）:10mm

长度（L）:1m

拉力（F）:1000N

杨氏模量（E）:200×109Pa

1.3.3.2计算步骤

1.计算横截面积（A）:

2

=

4

2.计算正应力（σ）:

2