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弹性力学基础：边界条件：弹性体的混合边界条件

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心

是通过数学模型描述材料的弹性行为，这些模型包括弹性方程、几何方程和物

理方程，它们共同构成了弹性力学的基本方程组。

1.1.1弹性方程

弹性方程描述了弹性体内部应力与外力之间的关系，是基于牛顿第二定律

推导而来的。在三维空间中，弹性方程可以表示为：

⋅

∇+=

其中，是应力张量，是体积力（如重力），是材料密度，是位移的

二阶时间导数。

1.1.2几何方程

几何方程描述了位移与应变之间的关系，反映了材料变形的几何特性。在

小变形情况下，几何方程可以简化为：

1

=∇+∇

2

其中，是应变张量，是位移向量。

1.1.3物理方程

物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系，反映了材料

的物理性质。对于线性弹性材料，物理方程可以表示为胡克定律：

=ℂ:

ℂ

其中，是弹性张量，它包含了材料的弹性模量和泊松比等参数。

1.2弹性体的应力与应变

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于截

面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。在弹性力学中，应力通常用张量表

1

示，以全面描述材料在各个方向上的受力情况。

1.2.2应变

应变是材料变形的度量，可以分为线应变和剪应变。线应变描述了材料在

某一方向上的伸长或缩短，而剪应变描述了材料在某一平面上的剪切变形。应

变也是用张量表示，以准确反映材料的变形状态。

1.2.3应力-应变关系

对于线性弹性材料，应力与应变之间存在线性关系，即胡克定律。在三维

空间中，胡克定律可以表示为：

=

其中，是应力张量的分量，是应变张量的分量，是弹性张量的分

量，它包含了材料的弹性模量和泊松比等参数。

1.2.4示例：计算弹性体的应力与应变

假设我们有一个立方体弹性体，其尺寸为1×1×1材料的弹性模量

=200泊松比=0.3。当弹性体受到均匀的正应力=100作用时，

我们可以计算出其在方向上的线应变。

根据胡克定律，线应变可以表示为：

=−+

==