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弹性力学基础：边界条件：弹性力学中的周期边界条件

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理性质是连续变化的。弹性力学的核心在于理解和预测

材料在不同载荷条件下的行为，这对于工程设计和材料科学至关重要。

1.1.1弹性体

弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后能够恢复原状的物

体。这种恢复原状的能力是由于材料内部的弹性力，它试图使材料回到其初始

状态。

1.1.2应力与应变

应力（Stress）：应力是单位面积上的内力，通常用符号σ表示。

它描述了材料内部各点所承受的力的大小和方向。应力可以分为正应力

（σ）和切应力（τ），分别对应于垂直于截面的力和平行于截面的力。

应变（Strain）：应变是材料在外力作用下发生的变形程度，通常

用符号ε表示。应变可以分为线应变（ε）和剪应变（γ），分别对应于

长度变化和角度变化。

在弹性力学中，应力和应变之间的关系通常由胡克定律描述，即在弹性范

围内，应力与应变成正比，比例常数称为弹性模量。

1.2弹性体的应力与应变

1.2.1胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，它描述了在弹性范围内，应力与应变

之间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是弹性模量，也称为杨氏模量。在三维情

况下，胡克定律可以扩展为更复杂的应力-应变关系，涉及到多个弹性常数，如

剪切模量（G）和泊松比（ν）。

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1.2.2应力张量与应变张量

在三维弹性力学中，应力和应变的描述需要使用张量。应力张量（σ）和

应变张量（ε）是二阶张量，它们可以完全描述材料内部任意点的应力和应变

状态。

1.2.2.1应力张量

应力张量是一个3x3的矩阵，包含了正应力和切应力的分量。其一般形式

为：

=

1.2.2.2应变张量

应变张量同样是一个3x3的矩阵，包含了线应变和剪应变的分量。其一般

形式为：

=

1.2.3应力-应变关系

在三维弹性力学中，应力和应变之间的关系可以通过广义胡克定律来描述，

即：

=

其中，σ_{ij}是应力张量的分量，ε_{kl}是应变张量的分量，C_{ijkl}是弹性

常数，描述了材料的弹性性质。在各向同性材料中，弹性常数可以通过杨氏模

量（E）、泊松比（ν）和剪切模量（G）来表示。

1.2.4示例：计算应力和应变

假设我们有一个各向同性材料的立方体，其杨氏模量E=200GPa，泊松比ν

=0.3。当立方