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弹性力学基础：边界条件：弹性力学中的边界积分方程

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间

隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心

在于建立和求解描述弹性体行为的微分方程，这些方程通常包括平衡方程、几

何方程和物理方程。

1.1.1平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，即在任意体积内，作用力的矢

量和为零。在三维空间中，平衡方程可以表示为：

∂

+=0

∂

其中，是应力张量，是体积力（如重力）的分量。

1.1.2几何方程

几何方程，也称为位移-应变关系，描述了弹性体变形前后几何尺寸的变化。

在小变形情况下，几何方程可以简化为：

1∂∂

=+

2∂∂

其中，是应变张量，是位移分量。

1.1.3物理方程

物理方程，即本构方程，描述了应力与应变之间的关系。对于线性弹性材

料，物理方程遵循胡克定律：

=

其中，是弹性常数，对于各向同性材料，可以简化为：

=+2

这里，和分别是拉梅常数和剪切模量，是克罗内克δ函数。

1

1.2弹性体的应力与应变

1.2.1应力

应力是描述单位面积上作用力的物理量，可以分为正应力和剪应力。正应

力是垂直于截面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。在弹性力学中，应力

张量是一个二阶张量，它包含了所有方向上的应力信息。

1.2.2应变

应变是描述材料变形程度的物理量，可以分为线应变和剪应变。线应变是

材料在某一方向上的长度变化与原长度的比值，而剪应变是材料在某一平面内

的角度变化。在小变形情况下，应变张量可以由位移分量通过几何方程计算

得出。

1.2.3应力-应变关系

在弹性力学中，应力与应变之间的关系由本构方程描述。对于线性弹性材

料，这种关系遵循胡克定律，即应力与应变成线性比例。在各向同性材料中，

这种关系可以进一步简化，仅由两个独立的弹性常数（拉梅常数和剪切模量）

决定。

1.2.4示例：计算弹性体的应力

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假设我们有一个各向同性弹性体，其拉梅常数=