2 第2课时　用空间向量研究夹角问题.pptxVIP

第2课时用空间向量研究夹角问题;01;知识点一两条异面直线所成的角

设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cosθ＝__________________＝____________．

;(1)两条异面直线所成角θ的范围是{θ|0°θ≤90°}．

(2)当两个方向向量的夹角为钝角时，其补角就是两条异面直线所成的角，所以求异面直线所成角的余弦值时要加绝对值．

;√;(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．

;知识点二直线与平面所成的角

设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝______________＝___________．

;向量法求线面角的基本步骤

;令x＝2，得y＝1，z＝－2，

所以a＝(2，1，－2)为平面CMN的一个法向量．

;知识点三平面与平面的夹角

(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中__________________的二面角称为平面α与平面β的夹角．

(2)两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1，n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_________．

;令x＝1，解得y＝1，z＝1，

于是n1＝(1，1，1).

同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)，

;向量法求两平面的夹角(或其某个

三角函数值)的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标；

(2)求出两个平面的法向量n1，n2；

(3)设两平面的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.

[注意]若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，再用法向量求解．;正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面PCD的夹角的大小．

;02;√;解析：二面角有四个，其中不大于90°的二面角为平面与平面的夹角，故A错误；

;√;2;3．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为________．

;2;4．在正方体ABCD--A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

;2;03;[A基础达标]

1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则()

A．α＝θ B．α＝π－θ

C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|

;2．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为()

A．30° B．45°

C．60° D．90°

;√;2;4.(2022·衢州高二期中)如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为()

A．30° B．45°

C．60° D．90°

;解析：如图，以D为原心，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

;2;√;2;√;2;2;2;8．在正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．

;2;9．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________．

;2;2;(2)求BE1与DF1所成角的余弦值．

;2;√;2;2;2;√;2;2;2;2;14．已知在长方体ABCD--A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，M，N分别是棱BB1，BC上的点，且BM＝2，BN＝1，建立如图所示的空间直角坐标系．求：

?

(1)异面直线DM与AN所成角的余弦值；

;解：由题意知D(2，0，0)，A(0，0，0)，B(0，4，0)，A1(0，0，3)，M(0，4，2)，N(1，4，0).

;(2)直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

;取x＝4，y＝－1，z＝2，

故平面AMN的一个法向量n＝(4，－1，2).

;2;√;2;2;2;解：因为AP⊥BE，AB⊥BE，

AB∩AP＝A，AB，AP?平面ABP，

所以BE⊥平面ABP.

又BP?平面ABP，所以BE⊥BP.

又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.

;(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG的夹角的大小．

;2;2